带绝对值的多元函数求最值

x²+y²=1是个单位园，故可令x=cost，y=sint，(0≦t<2π)；于是：
f(x，y)=∣x-y∣=∣cost-sint∣=∣(√2)[costcos(π/4)-sintsin(π/4)∣=(√2)∣cos(t+π/4)∣≦√2;
即当t=3π/4或t=7π/4，也就是x=-√2/2，y=√2/2或x=√2/2，y=-√2/2时f(x，y)获得最大值√2；
当t=π/4或t=5π/4，也就是x=√2/2，y=√2/2或x=-√2/2，y=-√2/2时f(x，y)获得最小值0

这里x>=0,y>=0时比较好算一点，依据偏导数为零是的点可能为函数极值点来计算：
syms x y z;
z = (1+x)sqrt((1-x)^2+y^2)+x^2;
dx = diff(z,'x');
dy = diff(z,'y');
%求解dx,dy的偏导数为零的x和y
X = solve('2x + ((x - 1)^2 + y^2)^(1/2) + ((2x - 2)(x + 1))/(2((x - 1)^2 + y^2)^(1/2))=0','x');
Y = solve('(y(x + 1))/((x - 1)^2 + y^2)^(1/2)=0','y');
%得到X=y^2/4，Y=0,当偏导数为零时函数取得极值，又有已知条件x,y的范围得到x,y都为零是有极值
x0=0;y0=0;
Z = (1+x0)sqrt((1-x0)^2+y0^2)+x0^2;
fprintf('极小值为：%i\n',Z);

x^2+y^2=1
c=x+y+1
2xdx+2ydy=0，xdx+ydy=0(条件)
dc=dx+dy=0(稳定点)
dx=x-y=dy=0
x=y=1/√2
周长最大值c0=1+√2
条件极值用全微分

多元函数的最值问题是高等教学中的一个难题,本人在教学过程中发现许多教材对这方面的介绍存在一定的不足为此,拟通过二元函数的求最值例题讲解,归纳出一定的方法以帮助学生解决求多元函数最值找到一条正确的途径

题目解析很清楚，
拉格朗日乘数法，就是添加一个变量 λ，构造一个新的函数，对所有变量包括 λ 求偏导数，所有偏导数等于0的点就是稳定点，函数要取得极值，必须在稳定点上取得，如果有多个稳定点，对所有稳定点的值进行比较，才能求得最值，
构造的函数 F（x, y, z, λ）, 括号中明白无误是 4 个变量，而不是三个变量，

解：设长宽高为x,y,z，根据
题意
，所求问题可写为如下条件极值问题：
max
V
=
xyz
subject
to:
18xy
+
12(xz
+
yz)
=
216
或者
3xy
+
2xz
+
2yz
=
36
写拉格朗日函数
L
=
xyz
-
lambda
(3xy
+
2xz
+
2yz
-
36)，求导：
Lx
=
yz
-
lambda
(3y
+
2z)
=
0；（1）
Ly
=
xz
-
lambda
(3x
+
2z)
=
0；（2）
Lz
=
xy
-
lambda
(2x
+
2y)
=
0；（3）
以及约束条件
3xy
+
2xz
+
2yz
=
36
（4）
移项后，(1)/(2)，得到
y/x
=
(3y+2z)/(3x+2z)，推出x
=
y；
同理，(2)/(3)，得到：
z/y
=
(3x+2z)/(2x+2y)
，并代入x
=
y，推出z
=
3x/2
；
最后将
y
=
x以及z
=
3x/2都代入（4），可以求出x
=
2，从而y
=
2,
z
=
3
答案：最佳尺寸为
长
=
2，宽=
2，
高
=
3

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