怎么求两个圆的公切线的方程

已知两圆baix2+y2=1,(x-4)2+y2=4，求两圆公切du线方程

此题采用数形结合的方法

外公切线求法：

已知两圆圆心为O(0,0),A(4,0)

设圆O上切点为daoB,圆A上切点为C，则有OB//AC,OB＝1,AC＝2

根据对称性,两条外公切线应该交于x轴上

设这个交点是D

那么DO/DA＝OB/AC＝1/2

所以DO＋OA＝DA＝2DO

所以DO＝4

交点是D(-4,0)

在Rt△OBD中,OB＝1,OD＝4

所以BD＝√15

所以tan∠ODB＝√15/15

所以

外公切线的斜率是：±√15/15

外公切线方程：y=(±√15/15)(x+4)

扩展资料：

公切线的条数与两圆的位置关系如下：

若两圆相离，则有4条公切线；

若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）；

两圆相交，则有2条公切线（外切）；

若两圆内切，则有1条公切线；

若两圆内含，则有0条公切线。

参考资料来源;百度百科-公切线

双曲线切线方程公式：x²/a²-y²/b²=1。一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。

一、概念引入：

教材中并没有曲线与曲线相切的概念，为了便利后文的叙述和对两个函数之间关系的理解，对于f（x）和g（x），我们定义：

若在  处有  且  ,即共点共切线，则我们称f（x）和g（x）在处相切。

特殊地，若在  处有  且在 的邻域内总有  或  ，称f（x）和g（x）在处同侧相切。

二、举例：

以下几组函数图像将帮大家直观地感受同侧相切：

①  和  在x=1处同侧相切

著名对数不等式

②  和  在x=1处同侧相切

③  与  在x=1处同侧相切

2019浙江高考压轴

三、实际运用：

1构造一些比较紧的不等式：

①

②当x≥1时  ， 当0<x≤1时，

在切点附近有极强的逼近性。

事实上，帕德逼近在图像的呈现上也展现出曲线异侧相切的特点:

③当x≥0时  ， 当-1<x≤0时，

蓝色为分式函数，红色为对数函数

④当0≤x＜2时，  ，当x≤0时，

蓝色为分式函数，红色为指数函数

2定量地感知极限情况：

这种技巧往往被用在恒成立求范围问题，和恰成立问题中。

比较举例中的①和②，发现两函数凹凸性相反时，这种感觉尤为明显：

当两函数凹凸性相反且相切时，两个函数就像两只牛角，紧紧地顶住了，函数的位置关系也就确定了。而这类问题的命题老师往往是善良的，我们遇到的大多数情况中，函数都有明显的凹凸性差异，因此从这个角度分析事半功倍。（事实上，此时两函数作差后求导必有导数单调，利用求导证明水到渠成；而且此时两函数大开大合，对该点使用切线放缩也易如反掌）

例1：（2019最后一卷T19）

已知函数  ，若函数  恰有一个零点，a的取值范围是_______。

分析：原问题转化为  和  恰有一个交点，考虑到的图像是确定的，单调，图像有迹可循，尝试用图像辅助解题。

当a＜0时，由零点存在性定理得（0,1）上有一交点；当x≥1时，f(x)>0，g(x)<0，此时必没有交点，因此a＜0符合题意。

当a=0时，易得符合题意。

当a＞0时，a的变化可视为上下拉伸g(x)，当且仅当我们把g(x)拉伸到与f(x)相切时，可以满足题目的要求：

我们假设切点为  ，则在  处有  且

由此列出方程：

综上，

例2：（2020年4月湖丽衢三市联考T10）

分析：令  ,  ，则原问题等价于f(x)≥g(x)对x＞0恒成立

同例一中的分析，a的变化可视为上下拉伸f(x)，当且仅当我们把f(x)拉伸到与g(x)相切时，则是满足题目要求的极限情况：

我们假设切点为  ，则在  处有  且

由此列出方程：

由此可得D正确，虽然说明略有不严谨，但解决选填相当有效。

以此为背景的例题数量庞大，且许多以朗博函数，同构为背景的试题以这个视角也能得到有效解答，因此共点共切线模型有着较好的普适性。

3检验答案的合理性

有时候，出题人就是比较狠，把两个函数逼得很紧，让两个函数凹凸性一致，比如说2019年浙江高考的压轴题，这时直接借助共点共切线分析便不能直接说明了，但这并不能说明共点共切线分析毫无用处，它可以使你确信由必要性探路得到的结果是正确的。

2019年浙江浙江高考压轴题

在解题中，有重要的一步代入x=1得到  ，而这恰恰好就是答案。有人会说，What a coincidence！太巧合了！也有人说，这样风险极其大，万一尝试了半天，要证的结论是错的，那岂不是前功尽弃！

可笔者认为代入x=1有其中的特殊性与合理性。

令  ，当  时，在x=1处，有  且

发动内在的数学感知，可以感受到此时的情况及其极限，牵一发而动全身！

说句题外话：

这个不等式为什么如此难证，让全省同学为之疯狂，可以参考下图：

不得不说，lsh的数学太细了。。。

4求分式的极值：

有时我们会遇到形如这样的问题：求  的最大值或最小值。

以求最大值为例：当f(x)和g(x)恒正时，不妨设该分式的最大值为k，在  处取到，则原式可变形为  ，且在  处等号成立。

令  ，则有  ，且在  的邻域内有，因此  ，因此  和  在  处同侧相切。

求最小值时过程同理。

综上，我们得出了  是原式取到最大值或最小值的一个必要条件。

例4：（高考押题卷T16）

函数  的最小值为________

解：我们令  ，  ，设函数

由上文的分析得

取到等号时的  是  的一个超越解。事实上，由于在求解方程组时我们可以运用有效的代换，可以越过x直接求得k的值。综上，最小值为

5一些特殊的运用

这一块内容仍有待发掘，在此举一例函数相切与反函数的结合：

例5：（极其经典的老题）

a>1时，若函数  与函数  恰有一个交点，则a=_______

解：函数  与函数  互为反函数，因此两函数关于  对称，因此  与  的交点即为  与  的交点。分析可得，与 恰好相切时满足题意，设切点为  。

得到

综上，

有兴趣的朋友可以考虑a＜1的情况，更加复杂但仍然可解。

四、总结：

共点共切线模型化抽象为具体，着眼于极限情况，对帮助理解函数有一定作用，在很多问题上都能找到其影子。在实际计算中，处理指对数的式子需要一定的技巧，需多加尝试

楼上的回答均忽略了一个很重要的细节：有一根公切线是垂直的、一根是水平的！！
如图所示，C1(-1,-3)，C2(3,-1)，r1=1，r2=3
观察可知，其中的两条切线分别是x=0、y+4=0。
易知经过两圆圆心的直线方程是y=x/2-5/2，此线斜率是1/2
因为圆心连线是两条外公切线的角平分线，设另一条外公切线斜率是K，则有
(k-1/2)/(1+1/2k)=(1/2-0)/(1+1/20)，解得：k=4/3
又由y=x/2-5/2和y+4=0可得，两条外公切线和圆心连线交点坐标为(-3,-4)
所以，另一条外公切线方程是y+4=4(x+3)/3，即4x-3y=0
公切线x=0与两圆交点分别是(0,-3)，(0,-1)，那么这两点分别关于圆心连线y=x/2-5/2所对称的点坐标分别是(-2/5,-11/5)，(6/5,-17/5)
则经过这两点的直线方程，即第四根切线方程为3x+4y+10=0
综合上述：四根切线方程是x=0，y+4=0，4x-3y=0，3x+4y+10=0。

首先求切线的斜率，
y=x²+3x-1
y’=2x+3
当x=1时，y’=5，也就是切线的斜率为5，
再将x=1带入原方程，y=1+3-1=3
即这个点是（1，3）
所以切线方程就是y-3=5（x-1）
y=5x-5+3
y=5x-2
这就是切线方程

注意；

直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，即若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点。求两曲线的公切线，应扣紧“公切线”，列出方程组破解。

好好学习吧。

两曲线存在两条公切线求范围
设两曲线为$y=f(x)$和$y=g(x)$，公切线方程为$y=\\lambda f(x)+\\mu g(x)$，其中$\\lambda,\\mu$为任意常数。
设$\\lambda,\\mu$满足$\\lambda f(x)+\\mu g(x)=0$，则有$\\lambda=-\\frac{\\mu g(x)}{f(x)}$，
令$\\mu=1$，则$\\lambda=-\\frac{g(x)}{f(x)}$，
即公切线的方程为$y=-\\frac{g(x)}{f(x)}f(x)+g(x)=0$，
由此可以求出两曲线的公切线所在的范围。

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