matlab 欧拉方法和中点法问题

欧拉法比较简单，但中点法相对麻烦，因其属于多步法，启动需要初始两个时刻的值，其中y1、z1可以用后退欧拉法来求。

我编写的代码如下：

% 用四阶龙格库塔方法求解，可以视为真值

dY = @(t,Y)[Y(2) ((1-Y(1)^2)*Y(2)-Y(1))]

[t,Y] = ode45(dY,[0 10],[1 1])

plot(t,Y(:,1))

hold all

% 欧拉法，步长0.25

h = 0.25

T = (0:h:10)'

y = T*0

z = y

y(1) = 1

z(1) = 1

for k = 2 : length(y)

    dz = (1-y(k-1)^2)*z(k-1)-y(k-1)

    dy = z(k-1)

    y(k) = y(k-1) + h * dy

    z(k) = z(k-1) + h * dz

end

Y1 = y

plot(T,Y1,'.-')

% 欧拉法，步长0.125

h = 0.125

T = (0:h:10)'

y = T*0

z = y

y(1) = 1

z(1) = 1

for k = 1 : length(y) - 1

    dz = (1-y(k)^2)*z(k)-y(k)

    dy = z(k)

    y(k+1) = y(k) + h * dy

    z(k+1) = z(k) + h * dz

end

Y2 = y

plot(T,Y2,'.-')

% 中点法，步长0.25

h = 0.25

T = (0:h:10)'

y = T*0

z = y

y(1) = 1

z(1) = 1

% 中点法属于多步法，启动需要初始两个时刻的值，其中y1、z1用后退欧拉法来求

[y1,z1] = solve('z1=z0+0.25*((1-y1^2)*z1-y1)','y1=y0+0.25*z1','y1','z1')

y0 = y(1) z0 = z(1)

% 方程存在多组解，需要找出实数解

y1 = subs(y1)

z1 = subs(z1)

inx = find(abs(imag(y1))<=eps)

y(2) = y1(inx)

z(2) = z1(inx)

for k = 2 : length(y)-1

    dz = (1-y(k)^2)*z(k)-y(k)

    dy = z(k)

    y(k+1) = y(k-1) + 2 * h * dy

    z(k+1) = z(k-1) + 2 * h * dz

end

Y3 = y

plot(T,Y3,'.-')

% 中点法，步长0.125

h = 0.125

T = (0:h:10)'

y = T*0

z = y

y(1) = 1

z(1) = 1

% 中点法属于多步法，启动需要初始两个时刻的值，其中y1、z1用后退欧拉法来求

[y1,z1] = solve('z1=z0+0.125*((1-y1^2)*z1-y1)','y1=y0+0.125*z1','y1','z1')

y0 = y(1) z0 = z(1)

% 方程存在多组解，需要找出实数解

y1 = subs(y1)

z1 = subs(z1)

inx = find(abs(imag(y1))<=eps)

y(2) = y1(inx)

z(2) = z1(inx)

for k = 2 : length(y)-1

    dz = (1-y(k)^2)*z(k)-y(k)

    dy = z(k)

    y(k+1) = y(k-1) + 2 * h * dy

    z(k+1) = z(k-1) + 2 * h * dz

end

Y4 = y

plot(T,Y4,'.-')

hold off

ylim([-1 1]*3)

legend('RK4','Euler''s method, h=0.25','Euler''s method, h=0.125', ...

    'Midpoint formula, h=0.25', 'Midpoint formula, h=0.125',2)

结果如图：

理论上说，中点法应该比欧拉法数值稳定性高，但从上面的程序看，中点法得到的结果却是发散的。我仔细查了好几遍程序，可能是因为已经形成思维定势的原因，没发现问题。请题主再自己检查一下看看。

至于说画导数dy/dt的轨迹，只是一个简单的保存数据并绘图的问题，请题主自行补上吧。

欧拉（Euler）齐次方程法又称欧拉反演方法，该方法是一种能自动估算场源位置的位场反演方法。它以欧拉齐次方程为基础，运用位场异常、其空间导数以及各种地质体具有的特定的“构造指数”来确定异常场源的位置。自20世纪80年代中后期以来，欧拉方法已得到了较为广泛的应用，尤其是适用于大面积重磁测量数据的解释。

图3-6-5 多个不同板宽、倾角、埋深及磁化率组合模型沃纳反褶积计算结果

（一）基本原理

已知一些特殊形状场源的位场为N阶齐次方程，N阶齐次方程也满足欧拉方程，欧拉方程的表达式为

地球物理勘探概论

式中：r为场源点到观测点的距离向量；T是位场异常；N是方程的阶数。该方程的一个解为

T＝k/rN

在磁异常情况下，k为一常数，N可认为是异常幅值随距离增大的衰减率。针对任意起伏地形，将磁异常视为区域场与点源场之和，则具体的欧拉方程式（3-6-18）可表示为

地球物理勘探概论

式中：（l（1），l（2），l（3））为观测点的笛卡儿坐标系的三个正交坐标； 为场源中心点的坐标； 为磁异常及其在l（1）、l（2）、l（3）方向的梯度；N为构造指数；B为区域场或背景场。

当观测面水平时，或尽管观测面不水平，坐标系的两个坐标轴设置成水平并恒定不变；这样，l（1），l（2），l（3）通常表示成x，y，z，（3-6-19）式变成以下（3-6-20）式

地球物理勘探概论

方程式（3-6-20）还可写为

地球物理勘探概论

如果能测量或计算出磁异常及其梯度值，方程（3-6-19）只有五个未知数 、 、B和N（或x0，y0，z0，B和N）。一般而言，需要根据场源形状或有关异常性质的先验知识来选择构造指数N。这样，可以利用三个或更多相邻观测点的数据（组成一个观测移动数据窗口；对于剖面数据为若干数据点构成的数据段，对于平面网格化数据则通常为矩形数据窗口），通过解方程（3-6-21）组成的线性方程组便可计算出场源位置。在整个异常区将移动窗口从一处移到相邻的另一处，可以求得同一场源的多个解，这些解汇聚的位置可以被认为是场源中心点的位置。显然上述公式适用于起伏地形。

理论研究表明，对于一些形状规则的异常源，N为一恒定的正整数。例如，对于单磁极线源N＝1；偶磁极线源N＝2；偶极子源N＝3。对于这些异常源，若能正确地选择N，则利用该方程能够准确地求出异常源的位置。若选择错误的N，将会导致解的发散。

从欧拉方程三维场源参数解的理论分析可知，移动窗口的大小、移动窗口所处位置以及构造指数N值选择的正确与否是影响场源参数数值解稳定性的三个主要因素。

（二）例子

图3-6-6是欧拉方程法确定磁源体位置与深度的程序对话框。输入磁异常观测值数据、水平与垂直导数并运行程序，程序自动计算得到的磁源体水平位置、垂直位置并作图。可以看到在水平位置为150m，垂直位置为10m处结果非常密集，人工选择一个合理的计算结果。该数据的理论模型为一个垂直薄板状体，水平位置与上顶埋深分别为150m与10m，可以看到程序计算结果与模型吻合很好。

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欧拉全新发布

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