Linux系统sort和uniq命令联合使用

给定两个文件 a.txt 和 b.txt ，每行是一个记录（假设没有重复），要求输出两集合的交集、并集、差集，输出的结果只包括唯一项。

交集定义为同时出现在两个文件中的记录项；

并集定义为出现在任何一个文件中的记录项；

差集( A-B )定义为出现在A中而且不出现在B中的记录；

对称差集定义为只出现在一个文件中的记录；

假设 a.txt 包括 a, c, b 三行。假设 b.txt 包括 d, e, c, b 四行。

交集 ，把两个文件放到一起排序，只输出次数多于一次的项：

$ sort a.txt b.txt | uniq -d

并集 ，把两个文件放到一起排序，重复的项只算一次：

$ sort a.txt b.txt | uniq

差集(A-B) ，把B的元素重复2份和A的元素放到一起排序，只输出出现一次的项：

$ sort a.txt b.txt b.txt | uniq -u

对称差 ，把两个文件放到一起排序，只输出出现一次的项：

$ sort a.txt b.txt | uniq -u

指定分隔符（-t）及基于哪一列（-k）、基于数值（-n） 、逆序（-r）进行排序

#排序之后删除了重复行，同时在行首位置输出该行重复的次数：

执行命令：sort testfile | uniq -c ，输出结果如下

#仅显示存在重复的行，并在行首显示该行重复的次数：

执行命令：sort testfile | uniq -dc，输出结果如下

#仅显示没有重复的行：

执行命令：sort testfile | uniq -u，输出结果如下

具体的方法如下：

若B行等价于A，则B可由A经有限次行运算得到。因此，B的行向量必为A的行向量的线性组合。所以，B的行空间必为A的行空间的子空间，因为A行等价于B，由相同的原因，A的行空间是B的行空间的子空间。

A的行空间的维数称为矩阵A的秩(rank)，为求矩阵的秩，可以将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中的非零行将构成行空间的一组基。将A化为行阶梯形，得到矩阵显然，(1，-2，,3)和(0，1，5)构成的矩阵列空间的交集。

可以利用A的行阶梯形求A的列空间的一组基。只需求中对应于首1元素的列即可。A中的相应列将是线性无关的，并构成A的列空间的一组基。

注意： 行阶梯形仅告诉A的哪一列用于构成基，但不能用的列作为基向量，这是因为和A一般有不同的列空间交集。

矩阵列空间的性质：

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解，其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。

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