数据结构---二叉树

数据结构---二叉树

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• 磊1.树的概念及结构
• • 1.1树的概念
  • 1.2树的相关概念
  • 1.3树的表示
  • 1.4树在实际中的应用
• 2.二叉树概念及结构
• • 2.1概念
  • 2.2特殊的二叉树
  • 2.3二叉树的性质
  • 錄2.4二叉树的遍历
  • • 2.4.1前序遍历
    • 2.4.2中序遍历
    • 2.4.3后序遍历
    • ✨2.4.4层序遍历

磊1.树的概念及结构 1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
●有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
●除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
●因此，树是递归定义的。

:树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2树的相关概念

节点的度: 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点: 度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点: 度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点: 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点: 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度: 一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次: 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度: 树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点: 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先: 从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙: 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林: 由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* NextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

什么意思呢？用一张图来解释

1.4树在实际中的应用

2.二叉树概念及结构 2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
   ：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
   

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树： 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2 k − 1 2^k-1 2k−1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树： 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。
   要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1个结点
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2 h − 1 2^{h}-1 2h−1 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log ⁡ 2 ( n + 1 ) log_2 (n+1) log2​(n+1)
5. 树中的结点数(记为n)等于所有结点的度数之和加1
   1.所有结点度数之和 = n-1
   2.所有结点度数之和等于 = n1+2n2+3n3+…mnm
   3.n = n0+n1+n2+…nm
6. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   1.若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   2.若2i+1=n否则无左孩子
   3.若2i+2=n否则无右孩子

知道了这些性质我们来做几道题小试牛刀一下:

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199

这题由性质3可以直接得出n0 = n2+1 = 199+1=200

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

这道题可以说是把性质3和5考察的淋漓尽致。
首先由性质5知n0+n1+n2 = 2n,又由性质3知n2 = n0-1，所以2n0+n1 = 2n+1,此时好像再用其它性质似乎已经得不到一个新的方程组了，这个时候我们来思考一下,一颗完全二叉树，度为1的结点可能有几种情况。


通过画图我们知道完全二叉树度为1的结点要么为1，要么为0，且结点数为奇数时为0，为偶数时为1。由题意可知结点总数为2n，所以个数为1。则2n0+1 = 2n+1，所以n0 =n

3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12

在做这道题之前，我们要先算一下一个完全二叉树的结点数范围，结点数最大时就是一个满二叉树，所以结点数是 2 h − 1 2^{h}-1 2h−1,最少的情况就是最后一层只有一个结点,那么就是它的前h-1层的结点数加上1，即 2 h − 1 + 1 2^{h-1}+1 2h−1+1，所以最终范围是[ 2 h − 1 + 1 2^{h-1}+1 2h−1+1, 2 h − 1 2^{h}-1 2h−1]根据这个就可以求解出本题答案，答案为B。

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

这道题与第二题思路一样，在这里不再做解释，大家动手算一下，答案为B。

錄2.4二叉树的遍历 2.4.1前序遍历

void PreOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}

2.4.2中序遍历

void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

2.4.3后序遍历

void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}

二叉树的结点个数

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right)+ 1;
}

二叉树叶子节点个数

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}

	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

二叉树第k层节点个数

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k >= 1);
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}
	// root不等空，k也不等于1，说明root这颗树的第k节点在子树里面
	// 转换成求左右子树的第k-1等的节点数量
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1)+BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

二叉树深度/高度

int BinaryTreeDepth(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	int leftDepth = BinaryTreeDepth(root->left);
	int rightDepth = BinaryTreeDepth(root->right);

	return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}

二叉树查找值为x的节点

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;

	if (root->data == x)
		return root;

	BTNode* leftRet = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (leftRet)
		return leftRet;

	BTNode* rightRet = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (rightRet)
		return rightRet;

	return NULL;
}

✨2.4.4层序遍历

层序遍历这边需要用到队列，在此不展示，具体实现请看数据结构–栈、队列

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;

	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", front->data);
		
		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);

		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);
	}
	printf("n");

	QueueDestroy(&q);
}

讲到这，对二叉树我们就有了一个初步的了解。
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