【SandQuant 量化投资】威廉·夏普：资本资产定价：风险条件下的市场均衡理论

【SandQuant 量化投资】威廉·夏普：资本资产定价：风险条件下的市场均衡理论

资本资产定价：风险条件下的市场均衡理论

I 效用函数、机会曲线与无风险利率II 资本市场均衡III 资本资产定价与系统性风险

威廉 · 夏普在1964年基于均值方差准则，将资产组合理论拓展到了风险条件下资本资产价格的市场均衡理论，揭示了单个资产存在无法规避的系统性风险。

[ 1 ] ^{[1]} [1] 1952年，Markowitz提出了基于“均值方差”准则进行风险资产投资的行为模型。 [ 2 ] ^{[2]} [2] 1958年，Tobin基于不同的风险偏好，将资产类型拓展至风险资产和无风险资产的组合，提出了流动性偏好理论。 [ 3 ] ^{[3]} [3] 1964年，Sharpe在此基础之上，进一步提出资产价格的市场均衡理论，在兼容前述理论的同时，揭示了资产价格与其风险构成之间的潜在关系。

I 效用函数、机会曲线与无风险利率

效用函数

对于风险厌恶的投资者而言，他们总是倾向于更高的收益和更低的波动，因此投资效用受到期望收益和预期方差的影响。

图1可以看到，投资者效用函数是一组向上弯曲的无差异曲线（ I 、 I I 、 I I I I、II、III I、II、III），其中 E R E_R ER​代表期望收益， σ R sigma_R σR​代表期望方差（总体风险或者波动）。

越往右下方移动，效用值越大，因为有更高的收益和更低的波动。

投资机会曲线

投资者总是从一系列的投资组合中寻找效用值最大的投资机会，这个过程可以分为两步：

寻找一系列有效的投资机会；从中找到效用值最大的投资机会；

一个投资机会是有效的，需满足以下定义：

同样的收益，更小的波动；同样的波动，更高的收益；更高的收益，更小的波动；

图1阴影部分代表一列投资机会， Z Z Z不如 B , C , D B, C, D B,C,D有效，有效投资机会出现在曲线 A F B D C X AFBDCX AFBDCX上，即是投资机会曲线。

无风险利率

考虑无风险资产组合 P P P和风险资产 A A A，无风险资产的期望收益率为 E R p E_{Rp} ERp​，而预期方差为0，因为没有风险。

假设持有 α alpha α比例的 P P P，持有 1 − α 1-alpha 1−α比例的 A A A，则组合后的期望收益和方差分别为，
E R c = α E R p + ( 1 − α ) E R a σ R c = ( 1 − α ) σ R a E_{Rc}=alpha E_{Rp}+(1-alpha) E_{Ra} \ sigma_{Rc} = (1-alpha) sigma_{Ra} ERc​=αERp​+(1−α)ERa​σRc​=(1−α)σRa​

由于 A A A和 P P P之间相关性为0，这意味着所有的组合将落在射线 P A PA PA上（图2所示）。对于风险资产 B B B而言，同理将落在射线 P B PB PB上。因此投资者首先会确定出最优的风险资产组合 ϕ phi ϕ，此时 P ϕ Pphi Pϕ与投资机会曲线相切。

假设投资按照相同的无风险利率进行借贷，当借出时（如银行存款），组合将落在线段 P ϕ Pphi Pϕ上，当贷款买入更多的 ϕ phi ϕ时，组合将落在 ϕ Z phi Z ϕZ射线上。

进一步的，投资决策可以表述为以下两步：

确定一个效用值最大的投资机会；通过无风险利率借贷，使得无差异曲线与 P Z PZ PZ相切；

II 资本市场均衡

假设投资者满足以下两点假设：

可以按照无风险利率借贷；所有投资者有一致的预期；

那么所有投资者都将买入组合 ϕ phi ϕ，从而推高 ϕ phi ϕ的资产价格，降低了资产期望收益， ϕ phi ϕ将向阴影区域左边移动。而其它资产价格会降低，从而提高了期望收益，向机会曲线移动。

随着资产价格不断变化，最终投资机会曲线变为一条直线（ P A C B Z PACBZ PACBZ），所有的资产都将进入有效投资组合中，达到市场均衡状态（图3）。

P Z PZ PZ上所有的组合都可以通过购买风险资产和按照无风险利率借贷达到，同时射线上的组合都是完全正相关的，这是揭示资产价格与其风险构成关系的关键，同时也满足多元化投资理论。

III 资本资产定价与系统性风险

均衡中可以看出期望收益和风险之间存在着简单的线性关系，但没有揭露单个资产与资产组合之间的关系。假设有单个资产 i i i和资产组合 g g g, g g g一定是包含了 i i i的。如果有一群观测点，那么会存在如图4的相关关系。

散点围绕 R i R_i Ri​的均值表明了总体风险 σ R i sigma_{Ri} σRi​，但部分离散是由于 i i i和 g g g之间的潜在关系，即斜率 B i g B_{ig} Big​。 R i R_i Ri​对 R g R_g Rg​变化的响应，可以解释 R i R_i Ri​变动的部分原因，即系统性风险(systematic risk)。其余部分，和 R g R_g Rg​无关的则是非系统性风险。给定 σ R g sigma_{Rg} σRg​，通过 B i g B_{ig} Big​来推断 R i R_i Ri​对 R g R_g Rg​变化的反应，可以预测每个资产系统性部分的预期风险。

依附于相同的经济大环境之下，多元化投资无法帮助投资者避免系统性风险，这些风险在有效资产组合依然存在。其它风险都可以通过多元化投资规避，但资产对整体经济环境的敏感性与其风险的大小是相关的。不被经济活动影响的资产只有纯利率收益，而那些受到经济活动影响的资产将获得更高的预期收益。

References
[1] Markowitz, Harry. “Portfolio Selection.” The Journal of Finance 7, no. 1 (1952): 77–91.
[2] Tobin, J. “Liquidity Preference as Behavior Towards Risk.” The Review of Economic Studies 25, no. 2 (1958): 65–86.
[3] Sharpe, William F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” The Journal of Finance 19, no. 3 (1964): 425–42.

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