伪逆（Pseudoinverse）

伪逆（Pseudoinverse） 伪逆（Pseudoinverse）

The pseudoinverse A + A^+ A+ — the best inverse when the matrix A A A is not invertible

行空间向量 v i boldsymbol{v}_i vi​乘矩阵 A A A得到列空间向量 σ i u i sigma_iboldsymbol{u}_i σi​ui​
A v i = σ i u i Aboldsymbol{v}_i=sigma_iboldsymbol{u}_i Avi​=σi​ui​
如果矩阵 A A A可逆
v i σ i = A − 1 u i frac{boldsymbol{v}_i}{sigma_i}=A^{-1}boldsymbol{u}_i σi​vi​​=A−1ui​
矩阵 A − 1 A^{-1} A−1的奇异值是 1 σ frac{1}{sigma} σ1​、矩阵 A − 1 A^{-1} A−1的特征值是 1 λ frac{1}{lambda} λ1​

如果矩阵 A A A不可逆，则它的伪逆 A + A^+ A+
当矩阵 A A A非满秩时，即 r < m r

当矩阵 A A A满秩时，即 m = n = r m=n=r m=n=r， A − 1 = A + = V Σ + V T A^{-1}=A^+=VSigma^+V^T A−1=A+=VΣ+VT

例子：