辗转相除法的原理是什么？

辗转相除法一般指欧几里得算法。欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。那么辗转相除法的原理是什么？

1、 原理：设两数为a、b(ab)，用gcd(a，b)表示a，b的最大公约数，r=a(mod b)为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k。。。。。。。r。辗转相除法即是要证明gcd(a，b)=gcd(b，r)。

2、 第一步：令c=gcd(a，b)，则设a=mc，b=nc。

3、 第二步：根据前提可知r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c。

4、 第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数。

5、 第四步：可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd(d1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cdc，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。

6、 从而可知gcd(b，r)=c，继而gcd(a，b)=gcd(b，r)。

7、 证毕。以上步骤的 *** 作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。

8、 解释：辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法，其可追溯至公元前300年前。

9、 来源：设两数为a、b(ab)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q。。。。。。r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q。。。。。。r2(0≤r2）。若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个余数为0的除数即为(a， b)的最大公约数。

10、 例如：a=25，b=15，a/b=1。。。。。.10，b/10=1。。。。。.5，10/5=2。。。。。。.0，最后一个余数为0d的除数就是5， 5就是所求最大公约数。

以上的就是关于辗转相除法的原理是什么的内容介绍了。

原理：

设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

以上步骤的 *** 作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。

解释：

辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。

来源：

设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个余数为0的除数即为(a, b)的最大公约数。

例如：a=25,b=15，a/b=1......10,b/10=1......5,10/5=2.......0,最后一个余数为0d的除数就是5, 5就是所求最大公约数。

举例说明：

不定方程为326x+78y=4，求出一组整数解x,y

求（326,78）的算式为：

326=4*78+14

14=326-4*78

78=5*14+8

8=78-5*14

14=1*8+6

6=14-1*8

8=1*6+2

2=8-1*6

6=3*2

所以

2=8-6=8-（14-8）

=2*8-14=2*（78-5*14）-14

=2*78-11*14=2*78-11*（326-4*78）

=46*78-11*326

即2=(-11)*326+46*78

所以4=(-22)*326+92*78

所以x = - 22, y = 92是不定方程326x+78y=4的一组解。

辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：

先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；

再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；

又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；

这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。

例如求1515和600的最大公约数，

第一次：用600除1515，商2余315；

第二次：用315除600，商1余285；

第三次：用285除315，商1余30；

第四次：用30除285，商9余15；

第五次：用15除30，商2余0。

1515和600的最大公约数是15。

辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果求几个数的最大公约数，可以先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后所得的一个最大公约数，就是所求的几个数的最大公约数。

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