怎么求函数间断点？

首先看函数x取何值时无意义，明显x=±1时函数无意义。

当x=1时函数的左极限（从负无穷趋向于1）等于﹢π，右极限（从正无穷趋向于1）等于﹣π；

左极限不等于右极限，为第一类间断点中的跳跃间断点。

当x=﹣1时函数的左极限等于0右极限等于0但函数在该点处无意义，所以为第一类间断点中的可去间断点。

间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。

扩展资料：

函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

参考资料来源：百度百科——间断点

函数间断点寻找的方法：无定义的点，就是间断点。

在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点，即间断点。

如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

间断点简介

间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。

间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。

间断点常见类型

1、可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。

2、跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。

3、无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。

可去间断点即左极限=右极限=有限值,与此点取值、有无定义均无关,可以通过重新定义让其连续的点.

分母为0的“有限点”（不算x→∞）都有可能是可去间断点,所以拿出来依次讨论.x=0、x=-1和x=1

(1)当x→0时,因为涉及到|x|,所以有必要分两边进行讨论

当x→0+时,limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(xlnx)

因为0^0=1,所以分子在x→0+时是趋近于0的；对于分母,xlnx=lnx/(1/x),应用L'Hospital法则便知在x→0+时也是趋近于0的.

故,分子分母满足0/0型的L'hospital法则,lim(x^x-1)/(xlnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(lnx+1)=lim(x^x)=1

当x→0-时,limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]

同理,分子分母满足0/0型的L'hospital法则,lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]=lim[(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+1]=lim[(-x)^x]=1

综上,当x→0时,左极限=右极限=1,故,x=0是可去间断点.

(2)当x→-1时,limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]

情况类似于x→0,分子1-(-x)^x→0；分母(x+1)ln(-x)满足∞/∞的L'Hospital法则,其极限为0.

所以,总体上满足0/0型的L'Hospital法则,

limf(x)=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]=lim[-(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+(x+1)/x]→∞

其中,x→-1+时为+∞,x→-1-时为-∞,这是无穷间断点,不满足要求.舍去.

(3)当x→1时,limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(2lnx)

分子分母满足0/0型的L'Hospital法则,有

lim(x^x-1)/(2lnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(2/x)=1/2,故x=1也是可去间断点.

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