平方数是什么意思

平方数（或称完全平方数），是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9 = 3 × 3，9是一个平方数。

若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如，  。若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因子，则称其为无平方数因数的数。

扩展资料：

一、相关性质

1、一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

2、四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因子中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

3、平方数必定不是完全数。

4、奇数的平方除以4余1，偶数的平方则能被4整除。

5、a²-b²=(a+b)(a-b)。

6、一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

7、四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4(8m+ 7) 的数。若一个正整数可以表示因数中没有形如 4k+3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

二、表达式

1、通项公式

对于一个整数 n，它的平方写成 n²。n²等于头 n个正奇数的和。在上图中，从1开始，第 n个平方数表示为前一个平方数加上第 n个正奇数，如 5² = 25 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。

2、递推公式

每个完全平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为 n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。

3、连续整数的和

完全平方数还可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的完全平方数非常有用。例如： 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704。

参考资料来源：百度百科－平方数

数学上，平方数，或称完全平方数，是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9

=

3

×

3，它是一个平方数。

平方数也称正方形数，若

n

为平方数，将

n

个点排成矩形，可以排成一个正方形。

若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如，

(2

×

2)

/

(3

×

3)

=

4/9

=

2/3

×

2/3。

若一个整数没有除了

1

之外的平方数为其因子，则称其为无平方数因数的数。

什么叫平方数

数学上，平方数（或称完全平方数），是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9 = 3 × 3，9是一个平方数。

平方数

平方数，或称正方形数，是可以写成整数的二次方的数。若n=m^2，n和m均是整数，n就是平方数。假如将n个点排成矩形，可以排成一个正方形。 1: + x4: x + x x+ + x x9: x x + x x xx x + x x x+ + + x x x16: x x x + x x x xx x x + x x x xx x x + x x x x+ + + + x x x x25: x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x + + + + + x x x x x 从上面的图形中可以得出精彩的结论，1^2=12^2=1+33^2=1+3+54^2=1+3+5+7............n^2=1+3+5+7+...+(2n-1)1^2=12^2=1+2+13^2=1+2+3+2+14^2=1+2+3+4+3+2+1............n^2=1+2+3+4+...+n+1+2+3+4+...+(n-1)三个连续的平方数是勾股阵列的仅一组，即3^2+4^2=5^2n+...4+3+2+1n+...4+3+2n+...4+3n+...4...n上面所有数相加是平方数和，你也许说没任何意义但可以根据他巧得平方和公式S,即S=nC(n+1,2)-C(n+2,3)一些其他性质第一个平方数是1。第n个平方数是n2，等于首n个单数的和。 每4个连续的自然数相乘加一，必定会等于一个平方数。 拉格朗日定理∶每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8l + 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。

什么叫完全平方数

完全平方数

九章出版社提供

(一)完全平方数的性质

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

证明 奇数必为下列五种形式之一：

10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

分别平方后，得

(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明 已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则

10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6

或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6

即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴ k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1

(2k)=4

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得

(3m)=9=3k

(3m+1)=9+6m+1=3k+1

(3m+2)=9+12m+4=3k+1

同理可以得到：

性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：

一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

下面以四位数为例来说明这个命题。

设四位数为，则

= 1000a+100b+10c+d

= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。

对于n位数，也可以仿此法予以证明。

关于完全平方数的数字和有下面的性质：

性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而

(9k)=9(9)+0

(9k±1)=9(9±2k)+1

(9k±2)=9(9±4k)+4

(9k±3)=9(9±6k)+9

(9k±4)=9(9±8k+1)+7

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

证明 充分性：设b为平方数，则

==(ac)

必要性：若为完全平方数，=，则

性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。

证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。

性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若

<k<(n+1)

则k一定不是完全平方数。

性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

(二)重要结论

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；

8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

(三)范例

[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

解：设此自然数为x，依题意可得

(m,n为自然数)

(2)-(1)可得

∴n>m

(

但89为质数，它的正因数只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。

分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证

是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明 设这四个整数之积加上1为m，则

而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

[例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。

分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即

或

在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

证明 若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

综上所述，不可能是完全平方数。

另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

[例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。

证明

=

=++1

=4+8+1

=4()(9+1)+8+1

=36 ()+12+1

=(6+1)

即为完全平方数。

[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？

解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600

3｜600 ∴3｜A

此数有3的因数，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。

[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。

解：设此数为

此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。

直接验算，可知此数为7744=88。

[例7]：求满足下列条件的所有自然数：

(1)它是四位数。

(2)被22除余数为5。

(3)它是完全平方数。

解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

11｜N - 4或11｜N + 4

或

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4

k = 5

所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

[例8]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？

解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。

[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。

解：设矩形的边长为x,y，则四位数

∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。

又 ,得x+y=11。

∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。

[例10]：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。

解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。

[例11]：求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。

解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，于是，即。∵，∴。

另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。经计算得

故所求的自然数n = 27。

(四)讨论题

1.(1986年第27届IMO试题)

设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。

2.求k的最大值

一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。比如：0,1,4,9,16,25,36等。

什么叫非完全平方数

不是完全平方数的整数

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484……

不是这些数的整数就是非完全平方数

什么叫p型平方数？1000以内最大的p型平方数是多少？

设q是一个平方数，如果q-2和q+2都是质数，就称q为P型平方数.

1000以内的最大P型平方数是441

什么叫做完全平方数

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

什么叫做 非完全平方数

完全平方数就是可以表示成一个整数的平方的数

不是这种数的就是非完全平方数

比如说4=2^2是2的平方，是完全平方数，而3，5都是非完全平方数

44的平方数 47的平方数

44的平方数等于1936

47的平方数等于2209

什么是全平方数和算术平方数？

这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数:

A2 = 16

A8 = 64

A18 = 144

A32 = 256

设这个数列中数的序数为N。

就是A1是第1个数、A2是第2个数、A3是第3个数、……AN是第N个数……

当N满足 N/2 是完全平方数时，AN为完全平方数。

就是对第N个数，N的一半是完全平方数的话，这个数就是完全平方数。

例如，

第4个数，4的一半是2，不是完全平方数，因此第4个数不是完全平方数；

第8个数，8的一半是4，是完全平方数，因此第8个数是完全平方数；

……

第50个数，50的一半是25，是完全平方数，因此第50个数是完全平方数；

第72个数，72的一半是36，是完全平方数，因此第72个数是完全平方数；

理由如下：

设N/2 = X^2

N = 2*X^2

则

AN=(2N+1)^2-(2N-1)^2

=4N^2 + 4N +1 - (4N^2 - 4N +1)

=8N

=16*X^2

=(4*X)^2

这样可以么？

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