什么叫平方数

平方数

平方数，或称正方形数，是可以写成整数的二次方的数。若n=m^2，n和m均是整数，n就是平方数。假如将n个点排成矩形，可以排成一个正方形。 1: + x4: x + x x+ + x x9: x x + x x xx x + x x x+ + + x x x16: x x x + x x x xx x x + x x x xx x x + x x x x+ + + + x x x x25: x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x + + + + + x x x x x 从上面的图形中可以得出精彩的结论，★1^2=12^2=1+33^2=1+3+54^2=1+3+5+7............n^2=1+3+5+7+...+(2n-1)★★1^2=12^2=1+2+13^2=1+2+3+2+14^2=1+2+3+4+3+2+1............n^2=1+2+3+4+...+n+1+2+3+4+...+(n-1)★★★三个连续的平方数是勾股数组的仅一组，即3^2+4^2=5^2★★★★n+...4+3+2+1n+...4+3+2n+...4+3n+...4...n上面所有数相加是平方数和，你也许说没任何意义但可以根据他巧得平方和公式S,即S=nC(n+1,2)-C(n+2,3)一些其他性质第一个平方数是1。第n个平方数是n2，等于首n个单数的和。 每4个连续的自然数相乘加一，必定会等于一个平方数。 拉格朗日定理∶每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8l + 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。

平方数（或称完全平方数），是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9 = 3 × 3，9是一个平方数。

若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如，  。若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因子，则称其为无平方数因数的数。

扩展资料：

一、相关性质

1、一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

2、四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因子中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

3、平方数必定不是完全数。

4、奇数的平方除以4余1，偶数的平方则能被4整除。

5、a²-b²=(a+b)(a-b)。

6、一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。

7、四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4(8m+ 7) 的数。若一个正整数可以表示因数中没有形如 4k+3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

二、表达式

1、通项公式

对于一个整数 n，它的平方写成 n²。n²等于头 n个正奇数的和。在上图中，从1开始，第 n个平方数表示为前一个平方数加上第 n个正奇数，如 5² = 25 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。

2、递推公式

每个完全平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为 n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。

3、连续整数的和

完全平方数还可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的完全平方数非常有用。例如： 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704。

参考资料来源：百度百科－平方数

1²=1 2²=4 3²=9

4²=16 5²=25 6²=36

7²=49 8²=64 9²=81

10²=100 11²=121 12²=144

13²=169 14²=196 15²=225

16²=256 17²=289 18²=324

19²=361 20²=400

扩展资料其他平方数列举以下

21² = 441 ，22² = 484， 23² = 529 ，24² = 576， 25² = 625 ，26² = 676， 27² = 729 ，28² = 784 ，29² = 841， 30² = 900，

31² = 961， 32² = 1024， 33² = 1089 ，34² = 1156 ，35² = 1225， 36² = 1296 ，37² = 1369 ，38² = 1444， 39² = 1521 ，40² = 1600，

41² = 1681， 42² = 1764 ，43² = 1849， 44² = 1936， 45² = 2025 ，46² = 2116 ，47² = 2209 ，48² = 2304 ，49² = 2401， 50² = 2500。

平方数（或称完全平方数），是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。

平方数也称正方形数，若n为平方数，将n个点排成矩形，可以排成一个正方形。若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如，

。若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因子，则称其为无平方数因数的数。

著名数学家毕达哥拉斯发现有趣奇数现象：将连续奇数相加，每次的得数正好就产生完全平方数。 如：1 + 3(=2²) + 5(=3²) + 7(=4²) + 9(=5²) + 11(=6²) + 13(=7²)……

在奇数和平方数之间有着密切的重要联系。一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。

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