和积化差和差化积公式

一、正弦、余弦的和差化积：

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

二、正切的和差化积：

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

三、积化和差：

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

和差化积是一种计算三角函数时所使用的数学公式。和差化积公式共10组，包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式。

在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

扩展资料：

记忆方法：

1、只有同名三角函数能和差化积

无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

2、乘积项中的角要除以2

在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α 和β，这两个角应该是和α+β/2和α-β/2，也就是乘积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。

和差化积需同名，变量置换要记清；假若函数不同名，互余角度换名称。简记为：S+S=2S·C，S-S=2C·S，C+C=2C·C，C-C=-2S·S

1、积化和差

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

2、和差化积

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

积化和差和差化积公式八个口诀：

积化和差公式：

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]

和差化积公式：

sinθ+sinφ=2sincos

sinθ-sinφ=2cossin

cosθ+cosφ=2coscos

cosθ-cosφ=-2sinsin

解释：

（1）积化和差最后的结果是和或者差。

（2）若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减。

（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项。

（4）若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。

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