什么是特征函数

在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：

其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。

用矩母函数MX（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。

与矩母函数不同，特征函数总是存在。

如果FX是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：

如果随机变量的概率密度函数存在，概率密度函数为，上述积分可以简化为：

其中

是随机变量X的概率密度函数。

如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。

反演定理

在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。

给定一个特征函数φ，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F：

。

一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。 [2]

博赫纳-辛钦定理/公理化定义

任意一个函数

是对应于某个概率律

的特征函数，当且仅当满足以下三个条件：

是连续的；

；

是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与

不等价）。

计算性质

特征函数对于处理

特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X1、X2、……、Xn是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且

其中ai是常数，那么Sn的特征函数为：

特别地，

。这是因为：

。

注意我们需要

和

的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。

另外一个特殊情况，是

且

为样本平均值。在这个情况下，用

表示平均值，我们便有：

。

特征函数具有以下基本性质：

勒维连续定理：

如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同(显然)。

独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。

在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。

定义：

自然界和社会上所观察到的现象分为：确定现象与随机现象。概率学是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律。一方面，它有自己独特的概念和方法，另一方面，它与其他数学分支又有紧密的联系，它是现代数学的重要组成部分。

概率学的广泛应用几乎遍及所有的科学技术领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查工农业生产和国民经济的各个部门,在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等。

特征函数和分布函数是一一对应的，用分布函数求卷积会很麻烦，用特征函数求就会简单一点，而且在求独立随机变量的和的分布的时候，用特征函数也要容易一些。

特征函数：在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：

其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。用矩母函数MX（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。与矩母函数不同，特征函数总是存在。

特征函数具有以下基本性质：

如果两个随机变量和具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同(显然)。

独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。

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