普里戈金耗散理论中的分岔图,体现了一种（）。

普里戈金耗散理论中的分岔图,体现了一种（）。

A规律性

B不可知性

C偶然性

D预见性

正确答案：C

如何做流程图

流程图在各单位应用比较广泛，但大多是手工制作或利用割字机割出字后，按草图粘贴而成，这样，势必就要求人制作。

其实，利用手中常用的电脑软件，不求任何人就可以制作并打印出精美绝伦的流程图。不信？那就跟我来做一做，看是不是很简单很美妙。

流程图的制作利用word中的[绘图]→[自选图形]→[流程图]里面的各种图形，制作起来比较容易，只是要具备一定的耐心，尤其是那种复杂而庞大的流程图。当然，它也和任何事物一样，有其规律和技巧可寻。

掌握了这些规律和技巧就可以变繁为简， *** 作起来得心应手，事半功倍。制作过程中应把握以下三大规律：1 先难后易 流程图一般最下面的部分比较复杂，做起来困难一些，那就先从它着手，这样，整个图的框架搭起来了，剩下的就非常容易了。

2 先框后线 先设置框型图形，待整个图的框架定位后，再进行连线，这样减少了调整的工作量。3 先图后文 先将所有的图形及其格式设置好，定位之后再输入文字。

当然，标题最好一开始就输入，否则，留到后面是麻烦。技巧提示：掌握了上面的制作规律，还得充分利用下面的一些技巧。

1 使用网格和标尺，便于准确快捷地定位。2 制作图形和线条时，利用图形复制快捷键[crtl+d]进行复制，既快捷又使图形和线条大小形状一致。

3 利用格式刷使所有图形格式保持一致。4 调整图形和线条时，利用[ctrl+方向键]，可以精确定位。

图1 完成的流程图5 如果同一行内方框很多，内容复杂，而且格式又相似，可以利用表格插入来完成，既方便快捷，又美观大方。图1中，最下面的一排就是插入一行表格后制成的，方框之间不相连接处用工具栏上橡皮擦去上下横线即可；文字输入时，按鼠标右键，调整文字方向为纵向。

怎么样，流程图已经制作出来了吧？是不是很简单？流程图的打印如何打印？你可能要说了，单位里只有激光或喷墨打印机，最大可打a3或a4幅面，而头儿要的是几倍于它的大型图幅，要挂上墙的。没问题，利用图像处理软件中的“海报打印”不就解决问题了？你可能会说：“是photoshop吗？那可是专业级的东东，我不会”。

是的，photoshop太专业了，复杂的 *** 作程序令人头大。其实，我们手里早就有了连菜鸟都会 *** 作，其作品也还专业的好工具，这就是全中文界面的“我形我速4”。

首先，我们需要将刚刚制作好的流程图转换成图像文件。方法一：1 选中word中的流程图，按下[ctrl+c]键，将其复制到剪贴板，保存并关闭word文档；2 接着再打开word空文档，单击[编辑]→[选择性粘贴]→[（增强型图元文件）]；3 再次选中刚粘贴过来的图像，并按下[ctrl+c]快捷键；4 打开“我形我速”，新建相片，设置好页面大小和页面方向（最好是横向）以及分辨率，单击菜单栏上的[编辑]→[粘贴]，流程图就乖乖地来到了“我形我速”的工作区。

5 单击工具栏上的[编辑]→[调整]→[旋转和调整大小]，按住[shift]键，将图像调整到新建相片大小，单击鼠标右键，点击“全部合并”项，使之与新建相片合并。方法二：1 流程图制作后，随即按下万能抓图快捷键[alt+printscreen]，将屏幕图抓取存入剪贴板，保存并关闭word文档；2 打开“我形我速”的[文件]→[新建]→[新建相片]，调整页面大小，并设置为横向，然后按下[确定]键；3 单击菜单栏上的[编辑]→[粘贴]，所抓图像进入工作区；4 调整与合并， *** 作过程同方法一中的第五步；5 单击工具栏上选定[范围]→[形状]，在左侧选项区中，选取模式下拉框中选定“创建新的选定范围”；形状下面单击矩形框（最左边）；鼠标在工作区中选取流程图，此时流程图四周被虚线包围（如图2），点击[下一步]“以当前选定范围修剪”，此时，word界面将被去掉，剩下一张纯正的流程图。

图2 裁切流程图如果用彩色打印机输出，可以通过工具栏上[编辑]→[效果进行染色处理]（如图3），还可单击工具栏上的[编辑]→[调整]，改变其焦距、照明、色彩平衡等。单击工具栏上的[打印]→[海报]命令，在界面的左侧选项区，指定要使用的打印机名称，纸张大小（应选打印机最大输出幅面），布局（横向），根据流程图实际尺寸设置百分比，从而决定图像将被打印到多少页纸张上（如图3，百分比设为350，图像被分割成16张a 4纸张）。

图3 打印设置好了，一切准备工作已经就绪，现在我们按下左下角的[打印]按钮，等着你的成果吧。如果在输出过程中发现部分图像的输出效果不理想，需要重新来过，或者有无需打印的空白页面（单色输出时），可以在工作区中不希望输出的页面上单击鼠标，所选择的区域被网格状线条覆盖而不被打印。

要重新显示图像，只需在网格上再次单击鼠标即可。打印完了吗？赶快拼接起来，你所追求的大型流程图就这样诞生了，是不是很酷？当你的头儿夸你的时候可别忘了布哼哟！。

过程流程图的步骤

分析：利用过程流程图来说明产品（服务）形成全过程，为了说明过程所有可能的波动偏差，应把所有人力资源、文件、程序方法、设备和测量仪器等都包括在过程的说明中。

过程流程图应使用标准或公认的图形符号（或语言）及结构来绘制过程流程图。常用的绘制流程图的符号如下： 椭圆符号表示终端。

它表示一个过程的开始（输入）或结束（输出），“开始”或“结束”写在符号内； 矩形符号表示活动。它表示在过程中一个单独的步序，活动的简要说明写在矩形内； 菱形符号表示判断。

它表示过程中的一项判定或一个[1] 分岔点，判定或分岔的说明写在菱形内，以问题的形式出现；对该问题的回答判定了在判定符号之外引出的路线；每条路线标上相应的回答； 流线符号表示进展。 它表示过程的流程方向（流线箭头指向）； 文件符号表示信息。

它表示过程的书面信息、文件的题目和说明写在符号内； 数据库符号也表示信息。它表示过程的电子储存信息、数据库的名称和说明写在符号内； 圆圈符号表示延续。

它表示在相互联系的流程图内，圈内使用同样的字母或数字，以表示各个过程间是如何连接的。 整车销售业务过程流程图。

步骤： 1、检查每个判定符号 这是一种检查活动吗？ 这是一种全面检查吗？还是仅检查几类故障？ 这是不是冗余的检查？ 2、调查每个循环 如果没有故障，是否需做这些活动？ 循环有多少“长” （步骤，时间损失，资源损失）？ 这个循环能防止问题发生或再发生吗？ 3、分析每项活动符号 是冗长的活动吗？ 活动的成本/效益如何？ 在该项活动中，我们如何防错？ 4、研究每个文件或数据符号 是否必要？ 如何保持其更新？ 是否只有唯一的信息来源？ 我们能够如何利用这一信息，监视并改进该过程？ 实际案例： 。

如何制做流程图

Word

在“绘图”工具栏 （工具栏：工具栏中包含可执行命令的按钮和选项。若要显示工具栏，请单击“工具”菜单中的 “自定义”，然后单击 “工具栏”选项卡。）上，单击“自选图形”，指向“流程图”，再单击所需的形状。

单击要绘制流程图的位置。

若要向流程图中添加额外的形状，请重复步骤 1 和步骤 2，再按所需的顺序对其进行排列。

在各形状间添加连接符。

在“绘图”工具栏上，单击“自选图形”，指向“连接符”，再单击所需的连接符线。

指向要锁定连接符的位置。

当指针滑过形状时，连接位置将显示为蓝色圆形。

单击要连接的第一个点，指向另一个形状，再单击第二个连接点。

锁定连接符将使形状保持连接，即便是在移动它们的时候。

向形状添加文字。

用鼠标右键单击形状，单击“添加文字”并开始键入。

注释 不能向线段或连接符上添加文字，使用文本框 （文本框：一种可移动、可调大小的文字或图形容器。使用文本框，可以在一页上放置数个文字块，或使文字按与文档中其他文字不同的方向排列。）可在这些绘图对象附近或上方放置文字。

为连接符更改线型或添加颜色。

选取要更改的线条或连接符。

执行下列 *** 作之一：

更改线条或连接符的颜色

在“绘图”工具栏上，单击“线条颜色” 旁的箭头。

执行下列 *** 作之一：

若要更改为默认颜色，请单击“自动”。

若要更改为其他颜色，请单击“自动”之下的一种颜色。

更改线条或连接符的线型

在“绘图”工具栏上，单击“线型”。

单击所需的线型；或者单击“其他线条”，再单击一种线型。

为形状添加颜色或填充。

流程图是？

流程图：使用图形表示算法的思路是一种极好的方法，因为千言万语不如一张图。

流程图在汇编语言和早期的BASIC语言环境中得到应用相关的还有一种PAD图，对PASCAL或C语言都极适用。流程图是流经一个系统的信息流、观点流或部件流的图形代表。

在企业中，流程图主要用来说明某一过程。这种过程既可以是生产线上的工艺流程，也可以是完成一项任务必需的管理过程。

例如，一张流程图能够成为解释某个零件的制造工序，甚至组织决策制定程序的方式之一。这些过程的各个阶段均用图形块表示，不同图形块之间以箭头相连，代表它们在系统内的流动方向。

下一步何去何从，要取决于上一步的结果，典型做法是用“是”或“否”的逻辑分支加以判断。 流程图是揭示和掌握封闭系统运动状况的有效方式。

作为诊断工具，它能够辅助决策制定，让管理者清楚地知道，问题可能出在什么地方，从而确定出可供选择的行动方案。为便于识别，绘制流程图的习惯做法是： 一般用椭圆表示“开始”与“结束”。

行动方案普通工作环节用矩形表示 （例如输入输出） 问题判断或判定（审核/审批/评审）环节用菱形表示 箭头代表工作流方向 流程图实例图 输入输出为平行四边形打算的。

请问WORD文档中怎么做流程图,就是那种带箭头和框框的,谢谢了 -

WORD文档中做流程图，可在插入图形中选择流程图框件和箭头完成流程图的制作。

方法步骤如下：

1、打开需要 *** 作的WORD文档，在工具栏“插入”中找到并点击“形状”。

2、在d出的选项中选择流程图框图和线条进行流程图制作。

3、在框图上点击鼠标右键，选择“添加文字”可为框图添加文字。

4、返回主文档发现流程图制作完成。

WORD文档中怎么做流程图,就是那种带

第1步，打开Word文档窗口，切换到“功能区”。在“插图”分组中单击“形状”按钮，并在打开的菜单中选择“新建绘图画布”命令。 选择“新建绘图画布”命令

小提示：也可以不使用画布，而只直接在Word文档页面中直接插入形状。

第2步，选中绘图画布，在“插入”功能区的“插图”分组中单击“形状”按钮，并在“流程图”类型中选择插入合适的流程图。例如选择“流程图：过程”和“流程图：决策”，选择插入流程图形状

第3步，在Word“插入”功能区的“插图”分组中单击“形状”按钮，并在“线条”类型中选择合适的连接符，例如选择“箭头”和“肘形箭头连接符”，选择连接符

第4步，将鼠标指针指向第一个流程图图形（不必选中），则该图形四周将出现4个蓝色的连接点。鼠标指针指向其中一个连接点，然后按下鼠标左键拖动至第二个流程图图形，则第二个流程图图形也将出现蓝色的连接点。定位到其中一个连接点并释放左键，则完成两个流程图图形的连接

第5步，重复步骤3和步骤4连接其他流程图图形，成功连接的连接符两端将显示红色的圆点，

第6步，根据实际需要在流程图图形中添加文字，完成流程图的制作。

一般地，如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。而一些动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列

中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。而对初始条件的敏感的依赖性也可作为一个混沌的定义。

与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。

混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。举个例子，生态学家对某物种的长期性态感兴趣，给定一些观察到的或实验得到的变量（如捕食者个数、气候的恶劣性、食物的可获性等等），建立数学模型来描述群体的增减。如果用Pn表示n代后该物种极限数目的百分比，则著名的“罗杰斯蒂映射”：Pn+1=kP(1-Pn)（k是依赖于生态条件的常数）可以用于在给定Po，k条件下，预报群体数的长期性态。如果将常数k处理成可变的参数k，则当k值增大到一定值后， “罗杰斯蒂映射”所构成的动力系统就进入混沌状态。最常见的气象模型是巨型动力系统的一个例子：温度、气压、风向、速度以及降雨量都是这个系统中随时间变化的变量。洛伦兹

（ENLorenz）教授于1963年《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系。洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。洛伦兹打了个比喻，即我们在文首提到的关于在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。

动力系统涉及上述类型和其他类型的物理及化学过程。它的研究目的是预测“过程”的最终发展结果。这就是说：如果完全知道在时间序列中一个过程的过去历史，能否预测它未来怎样？尤其能否预测该系统的长期或渐进的特性？这无疑是一个意义重大的问题。然而，即使是一个理想化的仅有一个变量的最简单的动力系统也会具有难以预测的基本上是随机的特性。动力系统中的一点或一个数的连续迭代产生的序列称为轨道。如果初始条件的微小改变使其相应的轨道在一定的迭代次数之内也只有微小改变，则动力系统是稳定的，此时，任意接近于给定初值的另一个初值的轨道可能与原轨道相差甚远，是不可预测的。因此，弄清给定动力系统中轨道不稳定的点的集合是及其重要的。所有其轨道不稳定的点构成的集合是这个动力系统的混沌集合，并且动力系统中参数的微小改变可以引起混沌集合结构的急剧变化。这种研究是及其复杂的，但是引入了计算机就可以形象地看到这种混沌集合的结构，看清它是一个简单集合还是一个复杂集合，以及随着动力系统本身的变化它是如何变化的。这也是混沌学为何会随着计算机技术的进步而进步的原因所在，所谓的分形也正是从此处进入混沌动力系统研究的。

我们简要谈一下混沌与分形的关系，混沌学研究的是无序中的有序，许多现象即使遵循严格的确定性规则，但大体上仍是无法预测的，比如大气中的湍流，人的心脏的跳动等等。混沌事件在不同的时间标度下表现出相似的变化模式，与分形在空间标度下表现的相似性十分相象。混沌主要讨论非线性动力系统的不稳、发散的过程，但系统在相空间总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相象。混沌学与分形学在很大程度上依赖于计算机的进步，这对纯数学的传统观念提出了挑战，计算机技术不仅使这两个领域中的一些最新发现成为可能，同时因其图形直观的表现形式也极大地激发了科学家与公众的兴趣与认识，起到了推广作用。分形与混沌的一致性并非偶然，在混沌集合的计算机图像中，常常是轨道不稳定的点集形成了分形。所以这些分形由一个确切的规则（对应一个动力系统）给出：它们是一个动力系统的混沌集，是各种各样的奇异吸引子。因此，分形艺术的美丽就是混沌集合的美丽，对分形艺术的研究就是对混沌动力学研究的一部分。

混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。

远古时代，人们对大自然的变幻无常有着神秘莫测的恐惧，几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然有规律可循。经典力学的追随者认为，只要近似知道一个系统的初始条件和理解自然定理，就可计算系统的近似行为。世间事物的行为方式具有一种收敛性，这样的信念使经典力学在天文学上的预言获得了辉煌的成就，如海王星的发现。人们研究天王星时发现其轨道存在某些极小的不规则性，这使人们怀疑天王星外还有一颗未知行星。英国亚当斯根据开普勒定理算出了这颗新星何时出现在何方位，德国科学家戈勒进行探索，在与预计位置差1°的地方发现了此星。于是海王星的发现成为经典决定论最成功的例证。经典力学的成功无疑给人们巨大的信心，以致把宇宙看成一架庞大时钟的机械观占据了统治地位。伟大的法国数学家Laplace的一段名言把这种决定论的思想发展到了顶峰，他说：“设想某位智者在每一瞬时得知激励大自然的所有力及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者博大精深能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式之中，对他来说，没有什么事物是不确定的，将来就象过去一样清晰展现在眼前”。牛顿力学在天文上处理最成功的是两体问题，如地球和太阳的问题，两个天体在万有引力作用下围绕它们共同质心作严格的周期运动。正因如此，我们地球上的人类才有安宁舒适的家园。但太阳系不止两个成员，第三者的存在会否动摇这样的稳定和谐？Laplace曾用一种所谓的“摄动法”来修正三体运动的轨道，证明三体运动的稳定性。据说拿破仑曾问他此证明中上帝起了什么作用，他回答：“陛下，我不需要这样的假设”。 Laplace否定了上帝，但他的结论却是错的。因为三体运动中存在着混沌。

什么是混沌呢？混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动，其本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性。如我们常说“差之毫厘，失之千里”。西方控制论的创造者维纳对这种情形作了生动的描述：钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶；战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；战事折，国家灭。

钉子缺这样一微不足道的小事，经逐级放大竟导致了国家的灭亡。系统对初值的敏感性又如美国气象学家洛仑兹蝴蝶效应中所说：“一只蝴蝶在巴西煽动翅膀，可能会在德州引起一场龙卷风”，这就是混沌。

环顾四周，我们的生存空间充满了混沌。混沌涉及的领域――物理、化学、生物、医学、社会经济，甚至触角伸进了艺术领域。混沌学的传道士宣称，混沌应属于二十世纪三大科学之一。相对论排除了绝对时空观的牛顿幻觉，量子论排除了可控测量过程中的牛顿迷梦，混沌则排除了拉普拉斯可预见性的狂想。混沌理论将开创科学思想上又一次新的革命。混沌学说将用一个不那么可预言的宇宙来取代牛顿、爱因斯坦的有序宇宙，混沌学者认为传统的时钟宇宙与真实世界毫不相关。

下面让我们来看看经典的混沌现象。

2 混沌现象

21 湍流(turbulent flow)

湍流是人类寻常惯见的现象。湍流现象普遍存在于行星和地球大气、海洋与江河、火箭尾流、乃至血液流动等自然现象之中。

1883年英国著名试验流体力学家雷诺(OReynolds)做了一个实验，演示了湍流的产生。将流体注入一容器，在容器内另有一盛有色液体的细管，如图1所示，管内的有色液体可由小口A流出，大容器下端B处装一阀门，可用来控制水的流速。当大容器内的水流较缓时，从细管中流出的有色液体呈一线状，两种流体互不混杂(图a)，我们称这种流动为层流。加大阀门让水流速度增大，当流速大到一定程度时，两种液体开始相互混杂，液体的流动开始呈现涡漩状结构，而且大涡漩套小涡漩，运动状态变得极端“紊乱”(图b)，无法对运动状态做出任何预测，我们称这种流动为湍流。

图2 燃烧烟柱的湍流

图1 湍流的产生(a) 互不混杂的层流(b) 湍流

湍流是一种典型的混沌现象，湍流的发生机制是物理学中一个历史悠久的难题。我们都知道流体力学中有一套描述流体运动的基本方程，这些方程是基于光滑和连续概念的决定性偏微分方程，它们无法描述如此复杂，没有规则的湍流，即使撇开湍流的空间结构不谈，决定性的流体力学方程怎么能允许貌似随机运动的紊乱的时间行为呢？

在日常生活中我们人人都可以见到湍流现象。图2所示是一支点燃的香烟，青烟一缕袅袅腾空。开始烟柱是直立的，达到一定高度时，突然变得紊乱起来。这是在热气流加速上升的过程中，层流变湍流的绝妙演示。

图3 木星上的大气湍流

一个有关宇宙奇迹恰如其分的描述是木星上的大气湍流。它象一个不运动、不消退的巨形风暴，图3所示为哈勃太空望远镜拍摄的木星大气湍流，它是太阳系中一个古老的标志。这些图象揭示了木星的表面是沸腾的湍流，有东西向的水平带。

22 洛仑兹水轮

图4所示为洛仑兹(ELorenz)发现的、精确对应于一种力学装置的有名的混沌系统――洛仑兹水轮，这种简单的构造竟也能表现出令人惊讶的复杂行为。

图4洛仑兹水轮

水轮顶端有水流恒定地冲下来，注入挂在轮边缘的水桶中。每只桶底部均有一小孔能恒定地漏水。如果上面的水流冲得很慢，顶部小桶不会装满，因而不能克服轮轴摩擦力，水轮也不会转动。如果水流加快。顶部水桶的重量带动了水轮，水轮可以用定速连续旋转，如图4(a)和图4(b)所示。一旦水流加快，旋转便呈混沌态，如图4(c)所示。传统的物理学家对于洛仑兹水轮这样简单的机械，直觉的印象告诉他们，经运一段长时间，这水轮只要水流冲速恒定，它一定会达到一个稳定状态。然而事实是，水轮永远不会停留在某一固定的角速度，而且永运不会以任何可以预测的形式重复。因为水桶是在水流下通过的，它们充满的程度取决于旋转的角速度。一旦水轮转得太快，水桶来不及充满或来不及漏掉足够的水，后面的桶比前面的桶重，则转动变慢，甚至发生逆转。

图5滴水龙头的混沌现象

23 滴水龙头

大多数人都知道当水龙头开得较小时，水滴将很有规律地从水龙头滴下。连续滴水的时间间隔可以非常一致，不少失眠者因老想着下一滴水什么时候滴下而心烦意乱，不能入睡。但当水流速度稍高时，水龙头的行为就是一般人不大熟悉的了。经观察发现，在某一速度范围内虽然水滴仍是一滴滴地分开落下，但其滴嗒方式却始终不重复，就象一个有无限创造力的鼓手。这种从有规律的滴水方式向似乎是随机的滴水方式的转变类似于层流向湍流的转变。如图5所示，在水龙头下放一话筒，记录水滴敲击话筒的声音脉冲，就很容易发现这种无规则的混沌现象。

(a) A射向B、C之间 (b) 先B后C (c) 先C后B

图6布尼莫维奇台球实验

24 布尼莫维奇台球实验

如图6(a)所示，A、B、C是光滑水平桌面上三个完全相同的台球，B、C两球并列在一起，作为静止的靶子，A球沿它们中心联线的垂直平分线朝它们撞去。设碰撞是完全d性的，碰撞后三球各自如何运动若设想因A球瞄得不够准而与B、C球的碰撞稍分先后，则我们就会得到如图6(b,c)所示截然不同的结果。如果说A与B、C的碰撞是绝对同时发生的，后果如何？我们就会哑然不知所对。在这样一个简单的二维三体问题理，完全决定性的牛顿定律竟然给不出确定的答案！

25 Belousov-Zhabothsky振荡化学反应

两种化学药品相混合，输入液中反应物浓度保持常量，输出液中浓度则呈混沌性振动。

26 生理医学

伯克利大学Walter教授发现健康受试者的心电图具有混沌的图象，而濒临死亡受试者的心电图则是非常规律的振动图象。

27 计算器迭代产生的混沌

一般的计算器上都有x2键，取一个介于0和1之间的数，比如054321，按x2键。再按它，反复按下去，这个过程称为迭代，观察结果读数，你很快会发现，当你第九次按下x2键时，得到结果为0，此后02=0，不会有什么其他结果出现了。

如果你用x2-1来迭代，将很快发现，结果在0和-1之间不断循环，因为道理很简单：

02-1=-1,(-1)2-1=0

若以迭代次数为横坐标，每一次的迭代结果为纵坐标，可得如图7所示的迭代序列图。

图7x2-1的迭代产生规则振荡，竖直方向是x值，水平方向是迭代次数

最后，我们来试一试迭代2x2-1，我们将得到一个如图8所示的迭代结果，这结果看上去远没有前面那么简单，事实上，他们看上去是无规的，或说混沌的。一个简单的，决定性的方程却产生了完全不能预测的、混沌的结果。

图82x2-1的迭代产生混沌

混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，早在20世纪初的1903年，法国数学家庞加莱（JHPoincare）从动力系统和拓扑学的全局思想出发指出了可能存在的混沌的特性，1954年，前苏联概率论大使柯尔莫哥洛夫指出不仅耗散系统有混沌，保守系统也有混沌，1963年，美国气象学家洛仑兹 (ELorenz) 在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出长期天气预报不可行的事实，他认为一串事件可能有一个临界点，在这一点上，小的变化可以放大为大的变化，这就是所谓著名的蝴蝶效应。蝴蝶在巴西煽动翅膀，可能会在德州引起一场龙卷风。混沌学的真正发展是在本世纪70年代后，1977年第一次国际混沌会议在意大利召开，它标志着混沌科学的诞生。1978年美国科学家费根鲍姆在《统计物理学》杂志上发表了关于普适性的论文。此文轰动了世界。从此以后，混沌的研究如星星之火，渐成燎原之势。

3 混沌学的研究方法

a: 趋向吸引子的螺旋轨道；

b: 似于周期的轨道（极限环）；c: 趋向于更复杂吸引子的轨道

图9

31 相空间几何与吸引子

研究表明，绝大多数描述系统状态的微分方程是非线性方程，当非线性作用强烈时，以往的近似方法不再适用。为此，法国数学家庞加莱提出了用相空间拓扑学求解非线性微分方程的定性理论。在不求出方程解的情况下，通过直接考查微分方程本身结构去研究其解的性质。该理论的核心是相空间的相图。相空间由质点速度和位置坐标构成。系统的一个状态可由相空间的一个点表示，称为相点。系统相点的轨迹称为相图。在相空间中，一个动力学系统最重要的特征是它的长期性态，一般动力学系统，随时间演变，最终将趋于一终极形态，此称为相空间中的吸引子。吸引子可以是稳定的平衡点(不动点) 或周期轨迹（极限环），见图9(a,b)，也可是持续不断变化没有规则秩序的许多回转曲线，这就是所谓奇怪吸引子，如图9(c)。

例：单摆的相图，考虑以下三种情况：(1)无阻尼小角度摆动；(2)无阻尼任意角摆动；(3)有阻尼小角度摆动；

图10 单摆小角度运动

解：(1)如图10所示的理想单摆，忽略一切阻尼，由牛顿第二定律，可得其运动方程为：

(1)

其中θ为摆角，g为重力加速度，l为摆长。若令 ，则(1)式成为：

(2)

当θ角很小时，sinθ≈θ，于是(2)式可写为：

图11 小角单摆的相图

(3)

对(3)式积分一次，可得

(4)

分别以θ和 为横坐标和纵坐标，则方程(4)的相图为一椭圆，c1为一与初始条件或总能量有关的积分常数，对不同的c1，可得一簇同心椭圆，如图11所示。该相图表明系统状态变化具有周期性。此即对应极限环吸引子。

(2) 若摆线为刚性轻质杆，则单摆可处于倒立状态，该单摆可做任意角摆动。单摆运动方程仍为(1)式，对(1)式积分一次可得：

(5)

(6)

c2为一与初始条件或总能量有关的积分常数，c2越大，能量越高。同时考虑小摆角和大摆角，可得如图12所示的相空间轨迹图。

图12 一般单摆运动的相图图13 有阻尼小角单摆相图

由图可见，在小角度低能情况下，相轨迹呈椭圆形。随着能量逐渐提高，椭圆轨迹变成左右两端呈尖角枣核状，当振幅（摆角）±π时，轨线上出现鞍点G、G’，实际上都对应于倒立摆的状态，是不稳定的双曲点。当能量再高时，相轨迹不再闭合，摆将顺时针或逆时针转起来，不再往复摆动。

（3）有阻尼小角度摆动

考虑了阻尼之后，摆角很小时的单摆运动方程为：

(7)

其中β=r/2m，为无量纲阻尼系数，r为阻尼系数。由情况（1）可知，单摆能量越小，椭圆相轨迹的长短半轴也越小，c1=0时，椭圆退化为一点，即原点，该点对应于单摆的稳定状态，对应于不动点吸引子。

32 奇异吸引子与蝴蝶效应

我们每天都收听或收看天气预报，尽可能准确进行长期天气预报是人类梦寐以求的愿望。计算机的发明和发展，为人类预报天气提供了有力的工具。大气实际上是无数冲来撞去的分子组成的，它们是不连续的，但在经典力学中，通常把大气当成连续、光滑的理想流体来代替。几百年前，欧拉和伯努利就写出了描述这种流体的运动方程。

图14气候演变曲线

为了求解运动方程，我们必须用离散的时间来迭代。所谓迭代就是用计算结果做为当前值代入方程求得方程的下一个值。就像我们在前面计算器迭代混沌中所做的那样，只是现在把那里的迭代次数换成了时间而已。为天气预报所作的迭代必须以惊人的高速进行，每秒要进行1百万次以上的运算。我们都相信，你的运算方程越精确，你的预报越准确。而事实上影响大气运动的因素太多了，不可能把所有的因素都考虑进去。因此，只能抓住主要矛盾，略去次要因素。

洛仑兹是一个气象学家，在孩提时代就是个气象迷，反复记录着他家房子外的小观测站里温度计的读数。他同时也热爱数学，热爱数学的纯洁性。正是这两种爱好，使他在混沌研究这个领域做出了开创性的工作。

洛仑兹那时正在用他的"皇家马克比"计算机，对大气系统进行模拟，以便寻找进行长期天气预报的方法。有一次偶然的机会，洛仑兹没有把一次运算从头算起，他走了一条捷径，从中途去启动，把前面打印出来的结果做为初始条件输入。这新一轮的计算原本应当重复前一次的计算结果，因为程序并没有变，然而当他看到打印结果时，却目瞪口呆，他计算出来的气候演变曲线与上一轮的计算相去甚远，根本不是一个类型的气候，而是完全不同的两类气候，如图14所示。

检查问题出在他输入的数据上，计算机内存有6位数，如：0506127，但打印时为了节省空间，只打出了三位数，即0506。他本能地认为这千分之一的误差，不会对结果有什么大的影响，这个小差别仿佛一阵微风吹过，对大范围的气候不会有什么影响。事实却完全相反，气候的演变对初始条件极为敏感，可谓“差之毫厘，失之千里”，就好象巴西的一只蝴蝶拍拍翅膀，会在德州引起一场暴风雨一样，因此，洛仑兹称它为蝴蝶效应。蝴蝶效应实际上是动力学系统行为对初值敏感依赖性的一种通俗说法。

洛仑兹如果停留在蝴蝶效应上，说明气候变化的不可预见性，或长期天气预报是不可能的，那么他带来的不过是个坏消息，但是洛仑兹看到了几何结构。

洛仑兹把他的方程送进皇家马克比计算机，它的迭代次数大约每秒1次。图15显示了他的变量y的值的前3000次迭代结果。前1500次，y值周期性地摇摆，摆幅平稳增长。而后，它剧烈振荡，毫无规律。洛仑兹画出以x,y,z为坐标轴的相空间曲线如图15所示。由图可见，相图是三维的，它由两片组成，各片各自围绕着一个不动点。若状态轨迹经过一段时间之后停在一个不动点上，那么意味着系统进入了一个稳定的状态，这相轨迹将是一个平庸吸引子。然而，事实上，相轨迹在两片上“随机”地跳来跳去，说明系统的状态演变着有某种规律性，这种相图不对应任何一种定常状态，因此，被称为奇异吸引子，又称洛仑兹吸引子。

图15 洛仑兹奇异吸引子

奇异吸引子的奇异之处在于，相轨迹虽在两片上跳来跳去，但决不自身相交，即不构成任何周期运动，系统的状态变化具有随机的不可预测性，因此奇异吸引子又称为混沌吸引子。此外，系统状态演变对初始条件非常敏感，相图中两个初始时任意靠近的点，经过足够长的时间后，在吸引子上被宏观地分离开来，对应完全不同的状态。

4 混沌的数学模型

41 通向混沌的道路――一维虫口模型――逻辑斯蒂映射

马尔萨斯(TRMalthas)在其《论人口原理》一书中，在分析了19世纪美洲和欧洲的一些地区的人口增长规律后得出结论：“在不控制的条件下，人口每25年增加一倍，即按几何级数增长”。不难把“马尔萨斯人口论”写成数学形式。为此可把25年做为一代，把第n代的人口记为xn，马尔萨斯的意思是：

xn+1 = 2xn (41)

这是简单的正比例关系，还可以写得更一般些，即：

xn+1 = gxn (42)

其中g是比例系数。不难验证，差分方程的解为：

xn = gnx0 (43)

x0 是开始计算的那一代人口数。只要g>1，xn 很快就趋向无穷大，发生“人口爆炸”。这样的线性模型，完全不能反应人口的变化规律，但是稍加修正，就可以称为描述某些没有世代交叠的昆虫数目的虫口方程。

这项修正就是计入限制虫口增长的负因素。虫口数目太多时，由于争夺有限的食物和生存空间发生咬斗，由于接触传染而导致疾病蔓延，争斗使虫口数目减少的事件，这些事件的数目比例于xn2，于是方程42可以修正为：

xn+1 = gxn -gxn2 (44)

这个看起来很简单的方程却可以展现出丰富多彩的动力学行为。其实它并不是一个描述虫口变化的模型，它同时考虑了鼓励和抑制两种因素，反应出“过犹不及”的效应，因而具有更普遍的意义和用途。

方程(44)可写成一个抽象的、标准的虫口方程：

xn+1 = g xn(1- xn)(45)

如图16用迭代法考察解的特性，作y=f (x)及y=x的图，给出任一初值x0，得f (x0)，将其赋值给x1，得f (x1)…，如此循环下去。

图16 y = f (x)的迭代曲线

当0<g<1时，从任一初始值x0开始，代入方程(45)，可得x1，再把代入方程(45)，得x2，结果如图17(a)所示，最终迭代结果xn(r)￥=0，其意义可以认为，由于环境恶劣，虫口的繁殖能力有限(g太小)，使得种群最终走向灭亡。实际上，g代表了函数的非线性化的程度，g越大，gxn2越大，非线性化程度越高，抛物线的拱型越凸出，这种迭代也称单峰迭代。

当1<g<3时，迭代结果如图17(b)所示。比如取g =2, x0=09, x1=018,…, xn=05，它停在那儿不动了。即在xn=05处有一个点吸引子，一个稳定定态。若追踪这个种群，则会发现种群数目随着时间的演化而保持稳定的数值。

(a) 0<g<1 (b) 1<g<3(c) g =31 (d) g =358

图17 不同g参数的虫口迭代结果

当g =31时，经过一定的步骤，迭代结果会稳定在两个值x1n与x2n之间跳来跳去地振荡，如图17(c)所示。这个漂亮的振荡称为周期2循环，即若跟踪种群，会发现种群数目每隔一年，数目重复循环一次，就象有些果树有大年小年一样，x1n和x2n也是定点吸引子。

当g=353时，迭代结果将在4个值之间振荡，即振荡周期增加了一倍，称为周期4循环。继续增加g值，还可得周期8循环，周期16循环等等。每一次解的周期都增加一倍。当g 达到某一临界值时，比如g =358附近，迭代结果再也不循环了，而是疯狂地振荡，永远也不会稳定下来，我们称为混沌态，如图17(d)所示。

若以g 为横坐标，迭代结果为纵坐标，可得如图18所示的分岔图。从临界值g =g￥开始，逻辑斯蒂映射进入了混沌区，在这种情况下，种群的数目就完全不能预测了。这种吸

图18 虫口模型分岔图 图19 分岔图的自相似精细结构

引子是不同于不动点和周期解的一种奇异吸引子。若追踪种群，你会认为种群的数目变化完全是随机的。然而仔细观察图18会发现，在复杂的混沌区，会发现一些具有周期解的窗口，如3，6，12，…或7，14，28…，窗口内的分岔现象与整体有着相似的结构，即这种迭代分岔图有着无穷嵌套自相似的精细结构，如图19所示。一系列的倍周期分岔意味着混沌状态的到来。这是通过倍周期分岔进入混沌的典型模式。

混沌系统的重要特征是：改变某一参量，分岔一个接一个。终极形态由不动点向周期2(r)周期4(r)周期8等转化，实现一系列周期倍化分岔，最终走向混沌。

42 混沌效应的几何特性――贝诺勒拉伸折叠变换

个人履历踏上乐途

猫王于1935年1月8日出生在美国一个贫穷的农场工人家庭里。他从小就沉迷于福音音乐。同时，贫民窟里流行的节奏强烈的黑人音乐，以及蓝调、民谣亦深深打动了年幼的猫王。教堂的唱诗班演唱给予了猫王音乐启蒙，教堂里教徒们充满激情的歌舞对猫王影响至深，他那著名的富有争议的扭胯动作就脱胎于此。

1948年，猫王举家迁到了孟菲斯。在这里，猫王开始接触了职业乐手，偶然中他参加了四人福音歌曲演唱组"黑森林兄弟"(Blackwood Brothers)的演出。可以说这次的搬家开启了猫王音乐生涯之路，孟菲斯的黑人灵魂乐及R&B，再结合白人乡村音乐成为了猫王特有音乐与演唱风格的形成根源。

一次很偶然的机会开始了猫王辉煌的音乐生涯。1953年的一天，他在Sun唱片公司老板萨姆-菲利普斯(Sam Phillips)名下的一家录音棚录制送给母亲的歌曲时，邂逅了菲利普斯的助手马里恩-凯斯克(Marion Keisker)，并深得凯斯克的赏识。1954年6月，菲利普斯让猫王去SUN公司录制一首来自纳什维尔的歌曲，同时受邀请的还有本地乐手斯科蒂-穆尔(Scotty Moore，吉他)和比尔-布莱克(Bill Black，贝司)，由他们为猫王伴奏。这一组合的效果开始并不理想，直到猫王演唱了阿瑟-克鲁杜皮茨(Arthur Crudupiz)的节奏与布鲁斯歌曲"好极了"(That's All Right)，他们才找到了感觉。这首歌曲最终成为猫王在Sun唱片公司的首张单曲唱片，并征服了当地的歌迷。此后猫王顺势推出了几张唱片，并开始进行了巡回演出。他那种体现了乡村音乐和节奏与布鲁斯结合的音乐以及狂野不羁的姿态引爆摇滚乐前所未有的风暴。猫王从此走上成功之路，一颗超级巨星开始冉冉上升。

萨姆-菲利普斯预见到猫王这样一位具有黑人风格的白人歌星必定会引起轰动，因为他向人们展示了一种极富个性和创新的意味的白人音乐和黑人音乐风格的融合。于是菲利普斯在给猫王制作唱片时也是独具匠心，利用公司原始的录音设施以及菲利普斯对回声技术的不断运用制造出所谓的"Sun公司声响"，再结合带有明显黑人节奏的一乡村音乐为基础的器乐部，形成了猫王独特的风格。在Sun公司录音的作品中，猫王显示出对黑人音乐家风格的深刻理解。他从来不是简单地照搬别人的歌曲，在电台音乐节目主持人方塔纳(Fontana，鼓手)以及比尔-布莱克和斯科蒂-穆尔的协助下，他总是以一种新的方式来处理这些作品，而不会像其他白人歌手一样在处理歌曲时冲淡原有的力量。

Sun公司在英国由HMV公司发行的猫王的一些单曲唱片总在一面收集一首布鲁斯歌曲，而在另一面收集一首乡村歌曲，并且在表演上都采取了激进的、与众不同的方式。这些唱片包括了"好极了"(That's All Right)和比尔-蒙罗(Bill Monroe)的"肯塔基的蓝月亮"(Blue Moon of Kentucky)、"今夜好好摇摆"(Good Rocking Tonight)/"我不管太阳出不出来"(I Don't Care If the Sun Don't Shine)、"奶牛布鲁斯布吉"(Milk Cow Blues Boogie)/"你是个伤心人"(You're a Heartbreaker)、"亲爱的，让我们去看戏"(Baby Let's Play House)/"我在左，你在右，她走了"(I'm Left, You're Right, She's Gone)以及"神秘列车"(Mystery Train)/"我忘了是否记得"(I Forgot to Remember to Forget)。那些由Sun公司录制但是在发行之前就被RCA公司买走的作品包括了"我爱你，因为"(I Love You Because)的两个版本(其中于1954年7月录制的版本直到1974年才收入专辑《埃尔维斯，传奇歌手：第1集》(Elvis A Legendary Performer: Vol-1))以及"蓝月亮"(Blue Moon)、"我永远不叫你走，小宝贝"(I'll Never Let You Go (Little Darlin')、"正因为"(Just Because)和那首出色的"试图靠近你"(Trying to Get to You)。其它未发行的这个时期的歌曲被收入到一张非法发行的专辑《今夜好好摇摆》之中。

在1955年11月的一次由电台音乐节目主持人参加的民意评选中，他被认为是一位最有前途的"乡村与西部"风格的歌手。这时帕克"上校"成了猫王的经理人，菲利普斯则以35,000美元的价格把他与猫王签订的合同转让给了拥有在全国范围内推销和发行唱片实力的RCA公司的分公司Victor。再加上帕克成功地安排了猫王在电视上有选择地露面，猫王马上成为了全国性的明星，他此后的每一张唱片都在排行榜上名列前茅。加盟RCA的首支单曲"Heartbreak Hotel/I Was The One为猫王缔创首支冠军曲，并于同年3月推出加盟RCA首张专辑Elvis Presley，蝉连了Billboard专辑榜10周冠军。接着第2张专辑Elvis发行后，单曲Love Me Tender就占据了全美4项排行冠军。与此同时，衬衫、围巾、牛仔裤、口红在内的二十多种猫王商品接连问世，在猫王入主RCA第一年就赚进2000万美金。

猫王在RCA公司最初的录音是于1956年1月在纳什维尔进行的，他的伴奏阵容包括了切特-阿特金斯(Chet Atkins)和"约旦人"(Jordanaires)乐队等。而其后的一些唱片几乎都是在公司位于纽约的主要录音棚里录制的。评论界认为猫王加盟RCA公司预示着他作品的质量迅速下降，而这一趋势一直继续了下去。尽管这一期间(至1958年猫王参军之前)录制的唱片显示出猫王在音乐的风格和内容上的相当大的变化，但是从历史角度来看，这些作品所形成的流派其实是50年代主流摇滚乐的精华。"不要太冷酷"(Don't Be Cruel)和"单方面风流韵事"(One Sided Love Affair)之类的歌曲体现了猫王从轻快、疯狂的Sun公司风格到以后的压抑、阴暗、沉重的风格的过渡。后者更倾向于商业化，但是依旧保持了令人兴奋和性感的特点。而且，正是这类歌曲，通过在电视台黄金时间播出，尤其是通过猫王那忧郁的形象，把无数白人青少年引向了摇滚音乐，例如"伤心旅店"(Heartbreak Hotel)和"猎犬"(Hound Dog)。一些录制较早，但直到猫王去德州服兵股期间才发行的作品也具有这一风格："一夜"(One Night)、"我心灵受创"(I Got Stung)。"我这个笨蛋"(A Fool Such As I)以及"太多的爱"(Big Hunk O' Love)。

如日中天

到了50年代后期，猫王已具有了极高的身价，他的歌曲也处理得越来越精致和得心应手。1956年9月，RCA公司作了一次史无前例的尝试：将猫王的7首单曲同时发行，结果从8月到12月，猫王每周都高居排行榜首。

与此同时，帕克"上校"正在忙于进一步树立猫王的形象--拍摄猫王的首部**《温柔地爱我》(Love Me Tender)并同意制造商们制作从钥匙环到枕套的各种猫王纪念品。同样，在唱片的录制中也体现了一种商业上的精明，猫王于1957年出版的专辑《埃尔维斯的圣诞集锦》(Elvis' Christmas Album)是一张民歌和摇滚歌曲巧妙的混合体，其中还不失机地加入了一些宗教、合唱及流行的节目歌曲。1957年的圣诞节前十天，美国三军极力争取猫王以歌手身份入伍，猫王婉拒好意，以平民身份接受征召。在为家乡父老唱完两场后，1958年3月24日，穿着英挺军服，前往位于德州Killeen郊区的第二装甲师营区报到，正式开始他的军旅生涯。1959年11月，空军上尉Joseph Beaulieu的14岁女儿Priscilla开启猫王的爱情心扉。1960年，猫王开拍退伍后的首部**"GI Blues从军乐"，其**原声带10月发行后迅速再攀冠军王座，停留榜中达111周之久，排行停留周数傲视猫王一生的所有专辑。此时，Priscilla搬进Graceland与猫王同居。

1960年3月，猫王从德州服兵役归来, 1958年时那种狂野粗暴和"我行我素"的风格仍一成不变地保持着。但是专辑《埃尔维斯回来了》(Elvis is Back)却似乎在重新尝试节奏与布鲁斯和乡村音乐与开始一种新的温柔的演唱方法之间犹豫不定。这种温柔的嗓音和演唱风格感觉没有任何新意，反而丧失了以往的热情和奔放。猫王以后的大部分作品中，这种风格一直延续下去。

1961年2月25日田纳西州州长宣布此日为"猫王日"，往后每年圣诞节，猫王都会在家乡作慈善演唱。唱片"粘上你"推出和美国的"披头士狂热"(Beatlemania)开始兴起期间，猫王仍旧保持了他杰出的以出版单曲为主的歌星地位，虽然只有为数极少的唱片：例如"布鲁斯弥撒"(A Mess Of Blues)和"这是最后的火焰"(It is Latest Flame)/"小妹妹"(Little Sister)--光辉并不逊于他的50年代。不过从这个时候起，猫王将事业重心转到好莱坞，接演了"蓝色夏威夷Blue Hawaii"等25部**。尽管从销量上看，猫王正处于他事业的顶峰，但事实上他的形象已远不如50年代时那么光芒四射。大多数的被推崇的歌曲都是一些温柔舒缓的作品，如"或是现在或是永不"(It's Now Or Never)、"你今夜否是否孤独"(Are You Lonesome Tonight)[1]和"投降"(Surrender)，或者是从**中选的插曲，如"无情的心"(Wooden Heart)和"乡间野趣"(Wild in the Country)。此外，他还推出了一些专辑，其中很大一部分都是从他开始出演的一大串好莱坞音乐片中选出的插曲组成的。

60年代早期，猫王开始一年接拍三部**，虽然这些典型的好莱坞影片一部比一部粗制滥造令人失望，然后而猫王自己演唱了其中的全部歌曲，这些只是用来填补空洞的**情节的歌曲往往都是第三流的，与他早期影片：《温柔地爱我》(1956)、《爱你》(Loving You)(1957)、《监狱摇滚》(Jailhouse Rock)(1958)中所采用的歌曲以及词曲作者的标准简直不可同日而语。此后专门为猫王拍摄的**，如《燃烧的星》(Flaming Star)(1960)和《乡间野趣》(1961)则令人兴趣寥寥，这些影片前后有20多部。而这期间的唱片包括了从"迷人的好运"(Good Luck Charm)开始的一系列单曲"她与你无缘"(She's Not for You)、"回到发送器"(Return to Sender)和"出售一颗破碎的心"(One Broken Heart for Sale)。

1966猫王和Priscilla(当时14岁)的感情结果，他正式向Priscilla求婚，隔年两人在拉斯维加斯的Aladdin饭店结婚。1968年，两人的爱情结晶女儿Lisa Marie Presley出生，让猫王开始享受轻松愉快的居家生活。然而好景不长，猫王有一个怪癖:不跟生了孩子的女人上床,1972年时，猫王与Priscilla分手，Priscilla带着女儿Lisa Marie离开，并选择在隔年猫王生日当天提出了离婚诉请，法院判定Priscilla拥有女儿监护权。虽然猫王的多情浪漫并且绯闻不断，但是Priscilla是猫王一生中唯一的挚爱，也是他一生中唯一有合法婚姻的妻子。

1968年之后，猫王被看作流行音乐界愤世嫉俗、软弱以及倒退现象的缩影。此外，他的**利润连连下滑，并且质量也越来越糟糕，甚至猫王本人也明显地表露出他对这些**同观众一样的讨厌和生气。

随后，他自1960年以来首次尝试在电视上拓展事业，这一次，他有了自己的电视特别节目，并且穿上了一套黑色皮装，在一个观众包围着的小舞台上表演。他给人一种猫王再生的感觉：具有领袖式的超凡魅力、轻松自如并带有一种预示凶兆的意味，这让世界的乐迷们激动不已。

这次节目的成功将猫王逼到了一条令他头疼的分岔路上：要不以此为起点开始一次全新的、但非常冒险的音乐尝试，要不仍旧回到他以前老的制作程序中去，只需略微改变一下细节。开始，他的唱片似乎保持了这两者之间的平衡。从他的电视节目中选出的单曲"假使我可以梦见"(If I Can Dream)非常的有力强劲，好像试图一下子摆脱他60年代的软弱，随后他于1969年初回到孟菲斯去录制专辑《埃尔维斯在孟菲斯》(Elvis in Memphis)，他使用了奇普斯-莫曼(Chips Moman)的"美国录音棚"，并由当地的一些杰出音乐家组成他的伴奏团体，这张专辑再次激动了他的歌迷，成为他一段时期内最鼓舞人心的作品。

猫王随后在拉斯维加斯进行了自1961年以来的首次现场演出。尽管他的乐队阵容强大，他的作品也很出色，人们却没有看到期望中的猫王，这种期望是由猫王的电视特别节目所萌生的。很快猫王又使他的音乐回到了过去的风格中去，同他的**一样安全，这可以从他一系列来自纽约、夏威夷和拉斯维加斯的"现场录音"专辑中得到证明。这些作品收录了一些随意的翻唱的老歌，并且没有有些歌曲超越了原有版本。1973年1月14日在夏威夷举行了全球首场卫星直播的演唱会（Aloha From Hawaii）。当这张夏威夷现场录音专辑于1973年登上美国排行榜首位时，猫王向人们证明了一个快要被怀疑的事实：猫王仍然是销量最大的音乐家，他的艺术生涯并未结束，虽然已经今非昔比，但猫王的影响和支持者依然可以令他骄傲。

事业下趋

具有讽刺意味的是从猫王自1960年开始的下降趋势中可以看出他在作品选择中倾向于商业化程度较低的音乐，而不是他以前的歌曲。他早期录制黑人音乐的做法一直持续到70年代。他分别于1958年和1973年录制了艾弗里-乔-亨特(Ivory Joe Hunter)的歌曲，而他服役之后的唱片中包括了选自诸如查克-杰克逊(Chuck Jackson)、利特尔-沃尔特(Little Walter)、O-C-史密斯(O-C- Smith)、"航海者"(Coasters)、杰里-巴特勒(Jerry Butler)、凯蒂-莱斯特(Ketty Lester)、查克-贝里(Chuck Berry)、"车轴草"(Clovers)、"流浪者"(Drifters)、鲁弗斯-托马斯(Rufus Thomas)、威利-狄克逊(Willie Dixon)等音乐家的作品，此外，猫王还演唱了新一代南部作家的作品，例如杰里-里德(Jerry Reed)的"吉他手"(Guitar Man)、麦克-戴维斯(Mac Davis)的"在贫民区"(In the Ghetto)、托尼-乔-怀特(Tony Joe White)的"Polk Salad Annie"和丹尼斯-林德(Dennis Linde)的"炽烈的爱"(Burning Love)。

在挑选歌曲上所作出的这一系列努力和冒险使得猫王所推出的唱片效果一直不好这一现象变得更加无法解释。实际上，自1960年以来他象50年代那样显赫的作品非常少。1960年的宗教风格专辑《他引领我的手》(His Hand in Mine)在嗓音处理上十分精致和纯正，而唱片"亲吻老朋友"(Kissin' Cousins)的B面"伤害了我"(It Hurts Me)(1965)中，人们又突然看到了猫王50年代那种激动人心和冒险精神的光芒在闪烁。值得一提的是专辑《埃尔维斯在孟菲斯》(From Elvis in Memphis)和《埃尔维斯乡村》(Elvis Country)(1971)以及现场录音的"美国三部曲"专辑《Elvis: Aloha from Hawaii via Satellite》(1973)。

关于逝世

到了70年代中期，猫王再次似乎绝望的放弃了任何为争取作为一名艺术家而受人尊敬的努力而完全栖身于他最后的那些陈规之中。他的嗓音比任何时候都要来得松散慵懒和漫不尽心，在音量高的时候显得粗糙刺耳，音量低的时候则摇摆不定，并且完全丧失了原有的生命力和细致。他的精神似乎变得迷离起来。更糟糕的是，大量服用药物、暴饮暴食，放荡不羁私生活也击垮了他的身体。

73年10月猫王因肺炎与胸膜炎复发、结肠扩张及肝炎住院，经纪人Parker图利自己的压榨式经纪策略，将健康状况恶劣的猫王推向财务危机。有指证指出，Parker在1973年之前有故意不支付版税酬劳给猫王的恶劣行为，猫王为了纾解经济惨况，只得疲于奔命的巡回演唱，身心劳累的他只能仰赖镇静剂等药物，健康问题日益严重。

即便如此，1976年整年都是紧凑的巡回演唱行程。11月底，猫王认识新女友Ginger Alden，Ginger成了猫王生前最后一位女友。1977年4月初，猫王再度病发入院，出院后强撑着继续演唱行程到6月。6月26日在印第安纳州的印第安纳波里的演唱会竟成为猫王生前最后一场演唱。原本在Graceland家中休养准备另一次演唱的猫王，却被巡回演唱行程经理发现(也有说是女友发现)倒卧在浴室，经紧急送往医院急救后，医师宣布猫王因心律严重失常(也有说是用药过量)导致心脏病突发过世，享年仅42岁。消息于下午发布，震惊全球，数千乐迷到Graceland志哀。猫王遗体最后跟母亲合葬在Graceland后方的'静默园'。

1979年猫王父亲辞世后，猫王的庞大遗产由唯一当时年仅11岁的女儿Lisa Marie继承，经过近两年四次官司诉讼，终于判定强制经纪人Parker将猫王的影像与录音作品全数交还给RCA与猫王家族。1982年秋天，Graceland成为观光胜地，平均每年吸引近60万人前往，猫王遗产的价值早已超过一亿。1986年，猫王成为乐坛前十位入列摇滚名人殿堂的歌手。截至1999年8月，RCA唱片公司和美国录音工业协会(RIAA)共追颁了131张的金唱片及白金唱片给猫王的女儿Lisa Marie，这是历史上获赠最多的金唱片及白金唱片纪录，猫王无疑是史上最伟大的演唱艺人。同时，RCA也颁予'世纪艺人Artsit Of The Century'特别纪念奖感念这位一代巨星。

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