曼德勃罗集面积

曼德勃罗集面积是指曼德勃罗集的面积，它是一个无限的、无界的、无穷级数的集合。它的面积是无穷的，但是可以用一个特定的数字来表示，这个数字叫做曼德勃罗常数。它的值大约为31415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679。

一、我国铜矿品位-吨位模型及联合分型模型研究

矿床品位和吨位是矿产资源经济定量评价的重要参考指标，长期以来是广大地质学家的研究对象。20世纪50年代De Wijs、Lasky提出了矿床品位服从对数正态分布的观点。近年来，随着美国地调局Singer等提出三步式矿产资源评价方法，对矿床品位-吨位的研究又成为热点研究领域。因为标准的地区品位-吨位模型是其方法中的最重要的一环，Cox等(1986)、Singer等(2002)等建立了全世界90个矿床的模型的标准品位-吨位分布模型，以此为基础，David(1992)等开发了MARK3软件。我国学者赵鹏大、魏民等对我国斑岩铜矿进行了研究(1998)。随着分形等非线性科学技术的出现，一些学者运用分形技术研究品位-吨位模型(FPagteberg，1996；Cargill 1980；Harris，1984；李长江，2000)，认为铜矿矿床品位吨位具有某种分形特征，矿床品位吨位存在分形指数关系。

(一)铜矿品位-吨位模型

为了构造我国主要矿产的数字找矿模型，此次研究以我国1999年金属储量数据库和区划矿产地数据为基础，建立了铜矿数据库(共984个铜矿床，包括近年发现的土屋超大型矿床)，分不同类型进行品位吨位的研究。由此为基础开发出矿产资源定量评价模型程序。

1铜矿储量特征

铜矿数据库统计表明，目前我国已勘探发现的铜矿储量共8446万吨，平均858万吨。其中铜矿储量在50万吨以上(包括伴生)的大型矿床有37个，全部为单或共生矿。

按照中国铜矿床模型分类(黄崇轲等，2001)，我国铜矿类型可分为岩浆熔离型铜镍硫化物矿、斑岩型、接触交代型、海相火山气液型、陆相火山气液型、热液型、海相沉积型、陆相沉积型、受变质型和表生型等10种。各种类型铜矿储量和矿床数统计如表9-9、图9-16，其中斑岩型铜矿储量占3721%，接触交代型占2271%，受变质型902%，海相火山气液型81%，热液型占75%，海相沉积型60%，岩浆型占523%，，表生型为007%。而各类型矿床个数统计结果是：斑岩型为62个，仅占总矿床数的63%，表现为矿床个数少而矿产资源量大；接触交代型为262个，占总矿床数的2662%，表现为矿床个数多且储量大；热液型占整个矿床数的3333%，但储量却不大；岩浆熔离型铜镍硫化物矿个数和储量均占总数量5%左右。

表9-9 全国资源量、矿床数统计结果表

图9-16 我国主要铜矿类型储量和矿床数统计分布图

2铜矿品位-吨位分布特征

在基于品位吨位分布矿产资源定量评价的方法中，矿床的品位、吨位分布特征是资源量模拟的基础。本次研究将分类型进行铜矿的品位、矿石量的统计分布研究。关于铜矿床资源量和品位的分布特征，国外学者做了大量的工作。20世纪50年代一些学者认为品位服从正态分布，之后更多的矿床学家(Singer，1986)及矿山地质专家(Kring等，1978)认为矿床品位服从对数正态分布。20世纪90年代随着分形研究的热潮，分形创始人Mandelbrot认为铜矿品位服从多重分形。本次研究为了查明我国各个矿床类型的统计分布特征，分别使用了如下两种方法进行铜矿品位和吨位的分布研究。

方法一，统计分布频率作图法：使用概率纸、对数概率纸或双对数标度，将计算品位或吨位的累计频率标度在上述标准图上，如果点分布是直线，则该数据集为相应的分布特征。该方法直观形象、简单实用。

方法二，正态及对数正态统计参数检验：根据公式计算品位或吨位的偏度和峰度，然后进行丰度偏度统计检验，确定分布是否为正态分布。

上述两种方法我们都集成在MRAS评价系统中，可以方便可视化使用。

(1)世界斑岩铜矿的品位-吨位统计分布模型

世界斑岩铜矿是由美国地调局的Donald ASinger博士提供的，共有此类型矿床数378个，最小品位007%，最大品位200%，平均0498%。斑岩铜矿品位直方图具有明显的长尾偏对称特征，经过10次删除异常点检查，仍然不服从正态分布。品位值取对数后经过两次删除服从对数正态分布。偏度丰度检验一次通过对数正态分布检验。在对数概率纸上形成标准的直线(图9-17～9-19)，说明世界斑岩铜矿品位具对数正态分布特征。矿床资源量分布从45万吨到11710亿吨(金属量)，变化极大。斑岩铜矿吨位直方图(图920)具有明显的长尾偏对称特征，经过10次删除异常点检查，仍然不服从正态分布。吨位值取对数后服从对数正态分布。偏度丰度检验不服从正态分布。矿石量对数分布如图9-21、9-22，一次通过偏度丰度检验，服从对数正态分布。

图9-17 世界斑岩铜矿品位分布直方图

(2)我国斑岩铜矿的品位-吨位统计分布模型

从铜矿数据库中共检索出此类型矿床数46个(去掉伴生矿)，最小品位032%，最大品位154%，平均075%。斑岩铜矿品位直方图(图9-23)具有明显的长尾偏对称特征，经过10次删除异常点检查，仍然不服从正态分布。品位值取对数后的直方图如图924。偏度丰度检验一次通过对数正态分布检验。在对数概率纸上形成标准的直线(图925)，说明我国斑岩铜矿品位具对数正态分布特征。

矿床资源量分布从几万吨到10亿吨(矿石)，变化极大。偏度丰度检验不服从正态分布(图9-26)。矿石量对数分布如图9-27，一次通过偏度丰度检验，服从对数正态分布。

图9-18 世界斑岩铜矿品位对数分布直方图

图9-19 世界斑岩铜矿品位的对数概率纸

图9-20 世界斑岩铜矿吨位的分布直方图

图9-21 世界斑岩铜矿吨位的对数正态分布直方图

图9-22 世界斑岩铜矿对数概率纸

(3)我国接触交代型铜矿品位-吨位统计分布模型

从数据库中共检索出174个(去掉伴生70个)，接触交代型品位的平均值为11%，最小值为025%，最大值为10%，变化区间较斑岩铜矿大，相对较富。接触交代型铜矿的统计直方图如图9-28，在一次删除异常样本后服从正态分布。而其对数直方图如图929，经多次分布检验仍然不服从对数正态分布。接触交代型的概率纸图如图9-30，明显存在两条直线，在矿石品位为1%处分界，说明接触交代型铜矿品位具有多母体的复合分布。

图9-23 我国斑岩铜矿品位直方图

图9-24 我国斑岩铜矿品位对数正态直方图

(4)我国岩浆型铜矿品位-吨位统计分布模型

从数据库中共选择出17个单或共生岩浆型矿床，品位最低为013%，最高为137%，均值058%。岩浆型铜矿统计分布图如图9-31。丰度偏度检验岩浆型矿床同时服从正态和对数正态分布。通过数字概率纸方法检验该类型矿床更符合正态分布(图932)。

图9-25 我国斑岩铜矿品位对数概率图

岩浆型矿床平均矿石量为3760万吨，最小为06万吨，最大为12659万吨。直方图统计分布如图9-33。

(5)我国热液型铜矿的吨位-品位统计分布模型

从数据库中共检索出191个矿床，平均值为113%，最小值为0104%，最大值为1007%，品位统计直方图如图9-34。品位丰度与偏度检验表明经过10次异常点删除后品位仍然不服从正态或对数正态分布，从品位频数对数概率纸上可以看出品位分布近似为直线，可以认为它服从对数正态分布(图9-35)。

图9-26 我国斑岩铜矿矿石量直方图

图9-27 我国斑岩铜矿矿石量对数正态分布直方图

热液型矿床矿石量的最小值为01万吨，最大值为8997万吨，平均为293万吨。统计直方图如图9-36。品位丰度偏度检验不服从正态分布，经过2次异常删除后服从对数正态分布。在对数概率纸上在矿石量8500万吨处有一异常拐点，其它为标准直线(图9-37)。

图9-28 我国接触交代型铜矿品位统计直方图

图9-29 我国接触交代型铜矿对数正态分布直方图

(6)我国海相火山气液型铜矿的吨位-品位统计分布模型

从铜矿数据库中共检索出57个单和共生海相火山气液型矿床，此类矿床的平均品位为144%，最小品位为042%，最大品位为903%。该类型的直方图与累计频率概率纸如图9-38、9-39。从对数概率纸上可见其服从对数正态分布。海相火山气液型吨位平均值为1046万吨，最小矿石量为06万吨，最大矿石量11253万吨。通过对数正态分布检验一次为对数正态分布，不服从正态分布。

图9-30 我国接触交代型铜矿品位概率分布图

(7)我国海相沉积型铜矿的品位-吨位统计分布模型

参加统计样本33个，包括东川铜矿等。平均品位为08%，最小品位为0315%，最大品位为141%。品位统计直方图和概率图如图9-40、9-41。偏度丰度检验服从正态分布。海相沉积型矿石量最小值为11万吨，最大值15619万吨，平均为1925万吨。统计直方图累计频率为正态分布。

(8)我国陆相沉积型铜矿的品位-吨位统计分布模型

图9-31 我国岩浆型铜矿品位统计直方图

图9-32 我国岩浆型铜矿品位概率纸图

图9-33 我国岩浆型铜矿矿石量对数统计直方图

图9-34 我国热液型铜矿品位统计直方图

图9-35 我国热液型铜矿对数概率图

参与统计样本共59个。品位均值为136%，最小值为036%，最大值为451%，相对而言品位较高。统计直方图及累计频率图如图9-42、9-43。丰度偏度检验服从正态分布。陆相沉积型矿石量平均为258万吨，最大值为2790万吨，最小值为04万吨，矿床规模小，矿石量服从对数正态分布。

(9)我国陆相火山气液型铜矿的品位-吨位统计分布模型

我国从数据库中共检索出13个矿床，大多数为小型。平均品位为089%，最大值为145%，最小值为042%。品位统计直方图及累计频率图如图9-44、9-45。丰度与偏度检验该类型矿床服从正态分布。陆相火山气液型矿石量平均值为1322万吨，最小值为10万吨，最大值为10391万吨。矿石量服从对数正态分布。

图9-36 我国热液型铜矿矿石量对数分布直方图

图9-37 我国热液型铜矿矿石量对数概率分布图

图9-38 海相火山气液型铜矿品位直方图

图9-39 我国海相火山气液型铜矿品位对数频率图

图9-40 我国海相沉积型铜矿品位统计直方图

图9-41 我国海相沉积型铜矿品位统计概率图

图9-42 我国陆相沉积型铜矿品位统计直方图

图9-43 我国陆相沉积型铜矿品位概率分布图

图9-44 我国陆相火山气液型铜矿品位统计直方图

(10)我国受变质型铜矿的品位-吨位统计分布模型

选择了以红透山矿床为代表的矿床47个，矿床平均品位为105%，最小值为012%，最大值为45%。矿床统计对数直方图和累计对数频率分布图如图9-46、9-47。品位偏度丰度检验为对数正态分布。

受变质型铜矿矿石量平均为1850万吨，最小为3万吨，最大为30071万吨，最大矿是山西铜矿峪矿床。受变质矿床矿石量服从对数正态分布。

(11)我国表生型铜矿的品位-吨位统计分布模型

从数据库中仅检索出6个矿床，金属量均在05万吨左右，仅贵池六蜂山铜矿为3万吨。矿床平均品位为13%，最小品位为016%，最大品位为271%。由于该类矿床目前规模小，本次不做统计分布研究。

(二)我国主要铜矿品位-吨位联合分形模型

对矿床的品位与吨位研究一直是地质经济专家和数学家十分重视的问题。通常认为矿床规模越大，其品位相对就低，这就是Lasky(1950)提出矿石储量的对数与品位之间存在的线性关系(Lasky定律)，Harris(1984)、Cargill(1980)认为应该是品位的对数与吨位的对数之间有线性关系，Turcotte提出了矿物形成过程的修正的分形模型，以别于前人的对数模型。模型的核心是矿物在地壳局部地段不断富集，而无须相邻地区的物质贫化。国内一些学者也对品位的分形进行了研究，如沈步明等认为矿石品位的分维可以确定矿化类型，但对品位吨位联合模型研究较少。按照Turcotte的分形模型，矿床品位与吨位有如下公式：

图9-45 我国陆相火山气液型铜矿概率分布图

C/C0=(M0/M)D/3

式中：M是矿石质量；C是品位；C0是地壳丰度；M0是研究地区的总金属质量。依据上述公式将品位数据与矿石数据标度在双对数坐标上，计算其统计斜率，即得到分维值。

1)我国斑岩铜矿品位-吨位联合模型：依次计算品位与矿石量在不取对数、品位对数、双对数情况下的品位与吨位的相关系数为-036、-06、-069(图9-48、9-49)。

说明矿床品位与吨位有较强的双对数相关，存在分形关系，计算分维值为028。和国外学者对铜矿研究的分维值比较(大多数为15～2)，该数据明显偏低。其原因应进一步研究。

2)岩浆型：依次计算品位与矿石量在不取对数、品位对数、双对数情况下的品位与吨位的相关系数为-005、-006、-0004。说明岩浆溶离铜矿床品位与吨位没有相关关系，它们之间不存在分形关系。

图9-46 我国受变质型铜矿品位对数直方图

图9-47 我国受变质型铜矿对数概率图

图9-48 斑岩铜矿吨位品位关系图(原始数据)

图9-49 斑岩铜矿品位-吨位关系图(双对数)

3)接触交代型：依次计算品位与矿石量在不取对数、品位对数、双对数情况下的品位与吨位的相关系数为-0087、-018、-015。说明接触交代型铜矿床品位与吨位相关关系极弱，它们之间不存在分形关系。

4)海相沉积型：依次计算品位与矿石量在不取对数、品位对数、双对数情况下的品位与吨位的相关系数为-0197、-0085、-012。说明海相沉积型铜矿床品位与吨位相关关系极弱，它们之间不存在分形关系。

5)海相火山气液型：依次计算品位与矿石量在不取对数、品位对数、双对数情况下的品位与吨位的相关系数为-0133、-020、-011。说明海相火山气液型铜矿床品位与吨位相关关系极弱，它们之间不存在分形关系。

6)陆相沉积型：依次计算品位与矿石量在不取对数、品位对数、双对数情况下的品位与吨位的相关系数为-008、-0135、-006。说明陆相沉积型铜矿床品位与吨位相关关系极弱，它们之间不存在分形关系。

7)陆相火山气液型：依次计算品位与矿石量在不取对数、品位对数、双对数情况下的品位与吨位的相关系数为-008、-016、-017。说明陆相火山气液型铜矿床品位与吨位相关关系弱，它们之间不存在分形关系。

8)受变质型：依次计算品位与矿石量在不取对数、品位对数、双对数情况下的品位与吨位的相关系数为-012、-028、-026。说明受变质型铜矿床品位与吨位相关关系弱，它们之间不存在分形关系。

9)热液型：依次计算品位与矿石量在不取对数、品位对数、双对数情况下的品位与吨位的相关系数为-009、-017、-019。说明热液型铜矿床品位与吨位相关关系弱，它们之间不存在分形关系。

二、我国几种金矿品位-吨位模型及资源评价技术研究

(一)研究数据说明

本次研究是在中国地质科学院区划室1994年关于全国金矿区划研究(潘辉逖等，1994)总结数据库基础上进行的。原金矿数据共574个(截止1994年资料)，在此基础上，参照1999年全国金矿储量数据表，建立了本次研究的数据库。由于原数据库金矿类型以工业类型为主，为了建立有成因意义找矿模型，本次以陈毓川等编著的“中国金矿床及其成矿规律”为依据，该书将我国金矿分为绿岩型、与岩浆岩有关的金矿床、产于沉积建造有关的金矿床和与表生作用有关的金矿床。在绿岩带金矿中又分为细脉浸染型和脉型金矿，与岩浆岩有关的金矿床又分与火山岩有关的金矿床、斑岩型、侵入体接触带型、远离接触带金矿、构造破碎带金矿，沉积建造矿床分碳酸岩金矿和变质碎屑岩金矿床，与表生作用有关的金矿又分砂金、红土型和铁帽型。本次重点研究了绿岩型、构造破碎带金矿、矽卡岩型、斑岩型、火山岩有关的金矿、产于沉积建造有关的金矿床和砂金等类型。通过填表在储量表上共有1496个金矿床、由于有些没有位置经纬度、有些缺储量和品位，将这些样本删除，参加统计分析的样本共1411个。

(二)我国金矿储量分布特征

通过金矿数据库统计表明，目前我国已勘探发现的金矿储量共6780吨。各省储量分布如表9-10。

表9-10 各省金矿储量分布

其中山东省岩金达千吨，江西有650吨，主要是德兴铜矿共生金达400吨。黑龙江有505吨，但都是以沙金为主。另外河南、陕西、河北、甘肃等都有较大金矿，单或共生矿和伴生矿均有，其中伴生矿有115吨(金川79吨)。

按照中国金矿床类型(陈毓川等，2001)，几种重要的金矿成矿类型的矿床数分别为：与中酸性侵入岩有关构造破碎带金矿有463个，表生金矿(冲积、冰积等)457个，绿岩型74个，火山热液型(包括海相火山作用和陆相火山作用)共67个，热液型金矿(成因复杂，许多成因不明)共69个，斑岩型61个，微细浸染型54个，浅变质岩型43个。为了解决金矿类型不明问题，本次也尝试用Singer使用的神经网络方法用品位-吨位参数进行分类，结果见神经网络有关章节。各种类型金矿储量和矿床数统计如图9-50，其中与中酸性侵入岩有关构造破碎带金矿有2507吨，占总资源量36%，说明该类型矿床仍是金矿找矿重要类型；表生金矿(冲积、冰积等)有911吨，斑岩型金矿储量838 吨，主要为共生金或伴生金，该类型金矿储量大，如德兴；绿岩型金矿分布在我国辽宁、河北、山西等地，储量有400吨；微细浸染型主要分布在贵州、四川等省，储量有378吨；火山热液型金矿主要在我国新疆、内蒙古、甘肃、福建等省，有储量468吨，浅变质岩型主要为湖南、江西等板溪群浅变质作用形成的矿床，有259吨。

图9-50 我国主要金矿类型储量统计分布图

(三)几个重要类型金矿品位-吨位模型

使用的研究方法与铜矿品位-吨位分布研究方法一样，主要使用MRAS系统中对元素地球化学数据处理程序。

(1)构造破碎带蚀变岩型金矿的品位-吨位统计分布模型

从金矿数据库中共检索出此类型矿床数463个，最小品位0108 克/吨，最大品位9366克/吨，平均931克/吨，标准均方差28。该类型金矿品位直方图如图9-51、952，具有明显的长尾偏对称特征，经过10次删除异常点检查，仍然不服从正态分布。在对数概率纸上形成标准的直线，说明我国构造破碎带蚀变岩型金矿品位具对数正态分布特征。矿床资源量分布从1000吨到29369万吨(矿石)，变化极大。偏度丰度检验不服从正态分布。矿石量对数分布如下图，一次通过偏度丰度检验，服从对数正态分布(图953)。在对数概率图上成直线分布(图9-54)。

图9-51 构造破碎带蚀变岩型金矿品位分布直方图

图9-52 构造破碎带蚀变岩型金矿品位分布对数直方图

图9-53 构造破碎带蚀变岩型金矿矿石量分布对数直方图

图9-54 构造破碎带蚀变岩型金矿矿石量对数概率图

(2)接触交代型金矿的品位-吨位统计分布模型

从数据库中共检索出174个(去掉伴生70个)，接触交代型品位的平均值为11%，最小值为025%，最大值为10%，变化区间较斑岩金矿大，相对较富。接触交代型金矿的统计直方图如图9-28，在一次删除异常样本后服从正态分布。而其对数直方图如图929，经多次分布检验仍然不服从对数正态分布。接触交代型的概率纸图如图9-30，明显存在两条直线，在矿石品位为1%分界处，说明接触交代型金矿品位具有母体的复合分布。

(3)绿岩型金矿的品位吨位统计分布模型

从数据库中共选择出74个绿岩型矿床，品位在0173×10-6和37×10-6变化，均值107×10-6，变化较均匀集中。

绿岩型金矿品位分布图如图9-55、9-56。丰度偏度检验绿岩型矿床同时服从正态和对数正态分布，但正态分布需要删除4次异常点。通过数字概率纸方法检验该类型矿床更符合对数正态分布。

图9-55 绿岩型金矿品位对数直方图

绿岩型矿床平均矿石量为809万吨，最小为1 000吨，最大为7998万吨。一次通过对数直方图偏度峰度检验，服从对数正态分布。

(4)微细浸染型金矿的吨位-品位统计分布模型

从数据库中共检索出54个矿床，品位在025×10-6和15×10-6变化，均值57×10-6，品位统计直方图如图9-57。品位丰度与偏度检验表明品位既服从正态分布，也服从对数正态分布，从品位频数对数概率纸上可以看出品位分布近似为直线(图9-58)，可以认为它服从正态分布。

微细浸染型矿床矿石量的最小值为14万吨，最大值为9531万吨，平均为1364万吨。品位丰度偏度检验不服从正态分布，服从对数正态分布。

图9-56 绿岩型金矿品位直方图

图9-57 微细浸染型金矿品位直方图

图9-58 微细浸染型金矿概率图

Mandelbrot set

曼德尔布罗特集

双语对照

词典结果：

Mandelbrot set[英][ˈmɑ:ndəlˌbrɔt][美][ˈmɑndəlˌbrɑt]

芒德布罗集;

例句:

1

The mathematical formula describing this phenomenon became known as the Mandelbrot Set

几何图形。曼德勃罗特集是人类有史以来做出的最奇异，最瑰丽的几何图形，曾被称为上帝的指纹。这个点集均出自公式:Zn+1=(Zn)^2+C，对于非线性迭代公式Zn+1=(Zn)^2+C，所有使得无限迭代后的结果能保持有限数值的复数C的集合，构成曼德勃罗集。

分形（第2版）

绪论1

第1章 非线性复杂系统与非线性热力学4 11 自组织现象4

12 自相似性8

13 标度不变性12

14 非线性非平衡态热力学14

第2章 分形的数学基础30

21 非欧氏几何学30

22 Hausdorff测度和维数32

23 维数的其他定义38

24 非均匀线性变换45

25 重正化群50

第3章 经典分形与Mandelbrot集54

31 Cantor集54

32 Koch曲线57

33 Sierpinski集59

34 Julia集62

35 Mandelbrot集65

第4章 分形维数的测定73

41 基本方法73

411 改变观察尺度求维数73

412 根据测度关系求维数75

413 根据相关函数求维数76414 根据分布函数求维数77

415 根据频谱求维数78

42 盒维数79

43 函数图的维数83

44 码尺与分形维数的关系89

第5章 产生分形的物理机制与生长模型92

51 产生分形的物理机制92

52 分形与混沌94

53 分支与自组织99

54 有限扩散凝聚(DLA)模型108

55 d射凝聚(BA)模型114

56 反应控制凝聚(RLA)模型117

57 粘性指延与渗流121

第6章 分形生长的计算机模拟128

61 DLA生长的Monte Carlo模拟128

62 DLCA生长模拟130

63 各向异性DLA凝聚134

64 扩散控制沉积的模拟138

65 复杂生物形态的模拟141

第7章 气固相变与分形146

71 氧化钼的分形生长146

72 碘的分形生长153

73 氧化钨的分形生长156

74 核晶凝聚(NA)模型159

第8章 分形生长的实验研究163

81 合金薄膜163

82 电解沉积164

83 溅射凝聚172

84 非晶态膜的晶化173

85 粘性指延176

86 电介质击穿179

87 水溶液结晶181

第9章 不同体系中的分形生长184

91 氧化亚锡从结晶生长到分形生长184

911 快速冷却184

912 慢速冷却186

92 猪胆汁从结晶生长到分形生长188

93 人胆汁的分形生长191

94 硼酸晶体的分形生长195

95 真空中非晶碳的分形生长197

96 电子辐照在聚丙烯中引发的分形生长198

第10章 自组织生长199

101 自然界的自组织生长199

1011 北极的地表砾石组成的环形图形199

1012 沙漠的有序图形200

1013 变幻莫测的云200

1014 人类基因DNA序列图201

1015 海贝壳202

1016 珊瑚表面的有序结构203

102 氧化镉的自组织生长204

第11章 分形理论的应用212

111 生物学212

112 地球物理学217

113 物理学和化学225

114 天文学229

115 材料科学233

116 计算机图形学238

117 经济学242

118 语言学与情报学245

119 音乐248

第12章 分形理论的发展251

121 广义维数和广延维数251

122 多重分形256

123 分形子与无序系统263

1231 分形固体的振动(分形子的引入)263

1232 分形子的实验观察263

1233 分形子动力学理论265

1234 分形子与谱维数265

124 小波变换的应用266

125 涨落与有序273

1251 涨落273

1252 涨落和关联274

1253 涨落的放大275

126 研究方向277

附录 计算机模拟源程序280

参考文献301

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曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：

（1）满足下式条件

Dim(A)>dim(A)

的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。

（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。

（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

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