因式分解中：拆项和添减项法是什么？

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x3-9x+8．

分析：本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1 将常数项8拆成-1+9．

原式=x3-9x-1+9

=(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x+8

=(x3-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x+8

=(9x3-9x)+(-8x3+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法4 添加两项-x2+x2．

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

例5 分解因式：

(1)x9+x6+x3-3；

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；

(4)a3b-ab3+a2+b2+1．

解 (1)将-3拆成-1-1-1．

原式=x9+x6+x3-1-1-1

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．

(2)将4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)

=(mn+1)2-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．

原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4

=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2

=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2

=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．

(4)添加两项+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)

=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)

=[a(a-b)+1](ab+b2+1)

=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．

说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验

x^4+4y^4

=x^4+4y^4+4x^2y^2-4x^2y^2

=(x^2+2y^2)^2-4x^2y^2

=(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)

用添项法!

6、拆、添项法

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

添项法多用于分解因式时

特别是拆项添项法

列如

x^2+5x+6

x^2+7x+6

x^2+5x+4

x^2-5x+6

x^2-7x+6

1.原式=x^2+4x+4+x+2=(x+2)^2+(x+2)=(x+2+1)(x+2)=(x+3)(x+2)

2.原式=x^2+2x+1+5x+5=(x+1)^2+5(x+1)=(x+6)(x+1)

3.原式=x^2+2x+1+3x+2=(x+1)^2+3(x+1)=(x+4)(x+1)

4.原式=x^2-4x+4-x+2=(x-2)^2-(x-2)=(x-2)(x-3)

5.原式=x^2-2x+1-5x+5=(x-1)^2-5(x-1)=(x-6)(x-1)

还有就是数列拆项法

用拆项法求一类特殊数列的和贾彩军（甘肃省农业机械化学校733006）在下面叙述中，均设数列的通项为ai，前n项和为Sn，所有各项之和为S．高中《代数》第二册复习参考题二18：求11·2，12·3，13·4，…，1n（n＋1），…的前n项的和，是用拆项消项的方法来求和的．∵ai＝1i（i＋1）＝1i－1i＋1，∴Sn＝∑ni＝1ai＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1．还可以进一步求得S＝limn→∞Sn＝1．此方法思路清晰，步骤简洁，是一种颇具代表性的求和方法．有些数列从表面上看不具备上述数列的特征，但经适当变形后也可归为此类形式．如文〔1〕中的例题．求无穷数列122＋1－122·132＋1－1221－132·142＋…＋1－1221－1321－142…1－1n2·1（n＋1）2＋…之和．原文作者认为“这个数列构造比较复杂，用初等方法难以理出头绪”．实际上并非如此，

在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。

添加a²b，再减去a²b。

a³-b³

=a³-a²b+a²b-b³

=a²（a-b）+b（a²-b²）

=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）

=（a-b）[a²+b（a+b）]

=（a-b）（a²+ab+b²）

把8拆成-1和9的和：

x³-9x+8

将常数项8拆成-1+9．

原式=x³-9x-1+9

=(x³-1)-9x+9

=(x-1)(x²+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x²+x-8)

扩展资料：

因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

分解因式的原则：

1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；

5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；

6、括号内的首项系数一般为正；

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；

8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。

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