三角形的外角

三角形的外角 如何反驳学生认为三角形有六个外角？

我认为这个问题极具教研价值。

在我的教学生涯中，每当在教到这个章节时，特别是多边形外角和时，必然要牵扯到多边形外角的个数问题？虽然没有学生当面质疑，但总觉得少数学生没有心服，只有口服。

这是教师在教学时常面临的两难：不提不知道，提出更困惑。

明知少数爱思考的学生可能会困惑，但限于大多数学生知识和认知的局限，教师不会主动提出（除非有学生主动提出），以免引起更多人认知上的困惑。

看罢题主的描述，我认为师生的交锋分两轮：第一轮：老师认为：三角形有三个外角。

学生认为：三角形有六个外角。

第二轮：师生都认为：三角形的外角和等于三角形所有外角的和。

但因为师生第一轮认知冲突，导致第二轮表面看起来好像师生达成共识，其实不然！师生对“所有”二字的理解，显然是不同的。

老师理解的“所有”是“三个”，学生理解的“所有”是“六个”。

争议的焦点在于：1.三角形到底有几个外角？2.三角形的外角和是指三角形所有外角的和吗？并由此联想到：n边形到底有几个外角？ n边形的外角和是指n边形所有外角的和吗？任何新概念的引入都是在已有认知基础之上的。

无论是三角形的外角，还是三角形的外角和，它们都来源于已有的认知（相对应于三角形的内角、三角形的内角和）。

原有的认知对新概念的建立产生的影响，有时候是积极的，起促进作用；有时候是消极的，有干扰作用。

教学的最理想的状态，就是能够引起学生的认知上冲突，在最近发展区调动学生学习的积极性，发挥其潜能，扩大已有认知的积极影响，克服消极影响，从而超越最近发展区，进入一个发展阶段。

对学生是这样，有时候对教师也是这样的！所谓教学相长，意即如此。

本文师生的两轮交锋就是实现这种教学状态难得的教学资源。

1.三角形到底有几个外角？三角形的到底有几条边，几个内角？----图1----三角形有三个顶点，三条边，三个内角。

顶点数，边数，内角个数是一一对应的关系，这是不争的事实。

但是，学生对三角形的边，内角的认知，是以对线段，角的认知为基础的。

如果学生对线段和角的认知出现偏差，就会产生如下认识：比如，有学生认为三角形有六条边，六个内角。

其理由是：按照定义，三角形相邻两个顶点所连的线段，叫做三角形的边；三角形相邻两边组成的角，叫三角形的内角。

△ABC中，三个顶点A，B，C，显然可以连出六条线段：AB，BA；AC，CA；BC，CB，因而三角形有六条边。

同样地，三角形相邻两边组成的角有六个：∠BAC,∠CAB；∠ABC,∠CBA；∠ACB,∠BCA，因而三角形有六个内角。

作为老师，如何回应这样的质疑？不外乎从两个方面：（1）仅从A，B，C三个字母的排列方式（有序）来说，其排列方式有六种：AB，BA；AC，CA；BC，CB，这无疑是正确的。

但是把这种理解迁移到对三角形边的理解，就是负迁移了，就产生抑制和干扰了。

因为三角形的边只能用A，B，C三个字母的组合（无序）方式来理解。

A，B，C组合方式只有三种AB，BC，CA。

因为要用到排列与组合，这样的解释很显然不适合初中生。

（2）结合图形（很重要！），已有的认知：线段是没有方向的（无序），线段AB和线段BA是同一条线段（从图形看，它们是完全重合的！），其他同理。

因而，由三个顶点A，B，C，任意两个顶点连线段，有且只有三条线段AB，BC，CA，因而三角形有且只有三条边。

该同学所说的六条，其实只有三条。

从计数原则来说，他重复计数了。

同样的解释，适合于内角。

甲边与乙边组成的角，其组成方式是无序的！从甲到乙还是从乙到甲组成的都是同一个角。

因而该同学所说的六个角，其实一半是重复的，所以三角形有且只有三个内角。

什么叫三角形的外角？三角形到底有几个外角？按教科书的定义，三角形一边与另一边的延长线组成角，叫做三角形的外角。

如何理解其中“一边的延长线”这个说法？理解1：一边只能向一个方向延长，因而三角形有三个外角。

如下图，△ABC的三条边，每边只向一个方向延长，其延长线与另一条边组成角有三个∠1，∠2，∠3。

----图2----理解2：一边可以向两个方向延长，因而三角形有六个外角。

如下图，△ABC的三条边，每边可以向二个方向延长，其延长线与另一条边组成角有六个∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们互为对顶角，度数是相等的。

----图3----两种理解，到底哪一种理解正确？只能从原有的认知去确认。

原有的认知：虽然线段没有方向性，但可以向两个方向无限延长，延长后，其实得到两条不同的射线，而线段的延长线就是这两条射线上除去原线段后的部分。

所以从原有的认知可以确认，虽然线段没有方向性，但其延长线是有方向性的。

实际教学中，我们常以正向延长线和反向延长线来区分！因而上述第一种理解是片面的，不完整的，第二种理解才是完整的。

显然题主是第一种理解，学生是第二种理解。

这一轮，题主的理解错误，学生的理解正确。

三角形有六个外角！2.三角形的外角和是指三角形所有外角的和吗？三角形的内角和是三角形所有内角的和吗？三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

此处强调三个内角，显然是为后续的三角形外角和定理埋下伏笔的！前面说过，三角形的顶点数，边数，内角个数，是一一对应的关系，三角形3个顶点，3个内角，因而三角形内角和定理完全可以弱化理解为：三角形所有内角的和等于180°。

此处这种理解强调“所有”，弱化“所有”的具体数目。

其实在大多数的人记忆中，甚至连“所有”二字都省掉了，直接理解为：三角形的内角和等于180°。

这样理解三角形内角和定理，不会出问题，但将此迁移到三角形的外角和，显然就会出现大问题，正如前面叙述师生的第二轮交锋：老师理解为：三角形的顶点数，边数，内角个数，外角个数仍然为一一对应的关系：三角形3个顶点，3条边，3个内角，3个外角，所以三角形的外角和当然是所有（3个）外角的和。

学生理解为：三角形的顶点数，边数，内角个数，外角个数并不是一一对应关系：三角形3个顶点，3条边，3个内角，6个外角，所以三角形的外角和当然是所有（6个）外角的和。

但是，教科书上说的是，三角形的外角和是指，在三角形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和，叫做三角形的外角和。

“这些外角”显然是指“3个外角”，而非“6个”。

第二轮交锋，师生各对一半。

因而三角形的外角和是指三角形3个外角（每个顶点各取一个）的和。

综述：1.至此，我们可以得出最终结论：三角形有6个外角，其中三个外角（每个顶点各取一个）的和，叫做三角形的外角和。

三角形外角和定理：三角形的三个外角（每个顶点各取一个）的和等于360°。

（证明从略）并由此推广到n边形：n边形，有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角，n边形的n个内角的和等于（n-2）180°，n边形的n个外角（每个顶点各取一个）的和等于360°。

2.本人对教科书关于三角形外角和定义的认识：合理性：a.三角形的外角和是三角形内角和的延续，b.三角形外角和在生活中的对应模型：从三角形一个顶点出发，沿三边绕行一周，回到起点，身体转向360°。

3.本人对教科书关于三角形外角定义的认识：现行教科书对三角形外角的定义，容易引发师生认知冲突，焦点在于三角形的外角到底有几个？（3 or 6）三角形外角和到底是3个还是6个外角的和？为避免此冲突，三边形的外角和的定义应修改为：三角形的一边的正向延长线与另一边组成的角。

这样定义更加合理，承前接后过渡更自然！一孔之见，欢迎讨论。

不用反驳，学生说的没有问题，任何一个多边形一个顶点都有两个外角，n边形有2n个外角。

只是在三角形外角定理会增加说明一句，一个顶点只选取一个外角计算。