差角公式

（应邀）推导三角函数的和差角公式的方法很多，我们先不妨回顾一下用向量推导三角函数和差角公式：用向量推导令：a = (cos α, sin α), b = (cos β, sin β)则，|a|= |b| = 1∠ab = α - β根据，向量内积公式：有：cos α cos β + sin α sin β = a⋅b = |a||b|cos ∠ab = 1⋅1⋅cos(α - β) = cos(α - β)即，cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 令，β = - β 带入上式，并利用诱导公式：cos(-x) = cos xsin(-x) = sin x得到：cos(α + β) = cos α cos(-β) + sin α sin(-β) = cos α cos β - sin α sin β即，cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β令，β = π/2 - β 带入上式，并利用诱导公式：cos(π/2 ± x) = ∓ sin xsin(π/2 ± x) = cos x得到：- sin(α - β) = cos(π/2 + α - β) = cos(α + π/2 - β) = cos α cos(π/2 - β) - sin α sin(π/2 - β) = cos α sin β - sin α cos β即，sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β令，β = - β 带入上式，得到：sin(α + β) = sin α cos(-β) - cos α sin(-β) = sin α cos β + cos α sin β即，sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β这个推导过程中，只有余弦差角公式： cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 是利用 向量推导出来的，剩下的 三个和差角公式，是基于这个公式，利用诱导公式推导得到的。

后续三个公式的推导 是可逆的，这说明：只需要推导出 四个和差角公式的一个就很容易推导出其他和差角公式。

接着，我们来看看除了用向量以外的其它推导方法：用矩形图推导绘制如下矩形图：由矩形左右对边长度相当得到：sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β由矩形上下对边长度相当得到：cos α cos β = cos(α + β) + sin α sin β即，cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β当然，也可以绘制如下矩形图：得到联立方程：sin α = sin(α - β) cos β + cos(α - β) sin β ①cos(α - β) cos β = cos α + sin(α - β) sin β ②①式两边 乘以 cos β ， ②式两边 乘以 sin β，然后结果相加，有：sin α cos β + cos(α - β) cos β sin β = sin(α - β) cos² β + cos(α - β) sin β cos β + cos α sin β + sin(α - β) sin² βsin α cos β = sin(α - β) (cos² β + sin² β) + cos α sin βsin α cos β = sin(α - β) + cos α sin β即，sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β类似的，①式两边 乘以 sin β ， ②式两边 乘以 cos β，然后结果相减，化简后，可以得到：cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β也可以，直接 令 α = α + β ，代入 ① 和 ② 分别有：sin(α + β) = sin(α + β - β) cos β + cos (α + β - β) sin β = sin α cos β + cos α sin βcos α cos β = cos(α + β - β) cos β = cos(α + β) + sin(α + β - β) sin β = cos(α + β) + sin α sin β即，得到：sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin βcos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β用欧拉公式推导根据，欧拉公式：可以，设：将上面等式相乘，有：而：于是，有：比较等式两边，实部=实部，虚部=虚部，于是得到：cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin βsin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β当然，也可以 令，x = -x 带入 欧拉公式得到：然后将 欧拉公式 与 上式 相加，化简得到：令，x = α + β，带入上式，有：类似的，令，x = α - β，带入等式 (2)，化简，可以得到：cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β另外， 将 欧拉公式 与 式(1) 相减，可得到：然后，用上面的方法，可以得到剩下的两个 和差角公式。

用行列式性质推导设， 边长为 1 平行四边形 AOBC，如下图：其中，A = (cos α, sin α), B = (cos β, sin β)，根据线性代数的知识，我们知道行列式：就是 平行四边形 AOBC 的面积，即，另外，由 平行四边形 面积公式，有：故，得到：sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β用半圆图推导绘制如下半圆图：有：即，sin(α + β) sin β = cos α - cos(α + β) cos β令，α = α - β 带入上式 得到：sin(α - β + β) sin β = cos(α - β) - cos(α - β + β) cos βsin α sin β = cos(α - β) - cos α cos β即，cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β类似的，利用 |BD| = |BE| + |DE|，也可得到同样的结果。

用平面几何知识推导过原点的，任意两条射线 OA 和 OB，夹角 ∠AOB = β，OB 于 OX 轴的 夹角 ∠BOX = α，OA 与单位圆 相交于 A 点，过 A 点 分别 做 OX 和 OB 的垂线 OC 与 KD，过 D点 左 OX 的垂线 DE，过 A 点 作 DE 的垂线 AF，绘制图形如下：首先， ABCD 显然为矩形，于是有 |AF| = |EC| 并且 AF // EC。

然后，由 ∠ OAD = π/2 - β， ∠ OAC = π/2 - ∠ AOC = π/2 - (α - β)，得到：∠ CAK = π - (∠ OAD + ∠ OAC) = π - (π/2 - β + π/2 - (α - β)) = α故，∠ OKA = π/2 - α再 由 AF // EC，知：∠ DAF = ∠ OKA = π/2 - α接着，有：|OC| = |OE| + |EC| = |OE| + |AF|其中，|OC| = cos(α - β)；|OE| = |OF|cos α = cos β cos α = cos α cos β|AF| = |AD| cos(π/2 - α) = sin β sin α = sin α sin β于是，得到：cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β（利用 平面几何知识推导 差角公式的方法 不止这一种，还有很多很多！）

个人以为，既然三角函数是从圆周运动这个地方生发出来的，那么，就应该可以用圆周的数形结合，硬推！圆类问题，核心辅助线就是作垂直，角度的叠加可以看作是一根半径在已经旋转α角度以后，继续旋转β角度，那么，做垂直理论上是可以表示α+β角的。