微分和导数的区别

微分和导数的区别,第1张

微分和导数的区别 微分和导数有什么区别

导数和微分的区别一个是比值、一个是增量

1、导数是函数图像在某一点处的斜率,也就是纵坐标增量(Δy)和横坐标增量(Δx)在Δx-->0时的比值。

2、微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后,纵坐标取得的增量,一般表示为dy。

扩展资料:设函数y = f(x)在x的邻域内有定义,x及x + Δx在此区间内。

如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不随Δx改变的常量,但A可以随x改变),而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小(注:o读作奥密克戎,希腊字母)那么称函数f(x)在点x是可微的。

且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分,记作dy,即dy = AΔx。

函数的微分是函数增量的主要部分,且是Δx的线性函数,故说函数的微分是函数增量的线性主部(△x→0)。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。

于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。

函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。

因此,导数也叫做微商。

当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。

一元微积分中,可微可导等价。

记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX。

例如:d(sinX)=cosXdX。

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的,在微小局部可以用直线去近似替代曲线,它的直接应用就是函数的线性化。

微分具有双重意义:它表示一个微小的量,因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值,这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

推导设函数y = f(x)在某区间内有定义,x0及x0+△x在这区间内,若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx),其中A是不依赖于△x的常数, o(Δx)是△x的高阶无穷小,则称函数y = f(x)在点x0是可微的。

AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即:dy=AΔx。

微分dy是自变量改变量△x的线性函数,dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量,我们把dy称作△y的线性主部。

得出: 当△x→0时,△y≈dy。

导数的记号为:(dy)/(dx)=f′(X),我们可以发现,它不仅表示导数的记号,而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分),还可表示为dy=f′(X)dX。

[4]几何意义设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。

当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

参考资料来源:百度百科-微分

微分和导数的区别体现在哪里

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