导数定义

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。

你不要拘泥于xy，或者x就代表横坐标或者自变量，这只是人们约定俗成的而已。

按照你说这里x是因变量，那么y就是自变量。

那么对于这道题而言对自变量的导数就是0.5。

或者在这里x就是平常的y，那么这里y就是平常的x。

只是一种规定表达，活学活用，理解导数的定义你就会明白。

探讨导数的本质绕不开两个问题：导数的数学意义和求导的原理。

数学意义。

数学中的函数可以在坐标轴中表示为直线或曲线(也有线段)，把所有的线都分解为微小的线段，每个微小线段的斜率就是导数，斜率等于因变量y的微小变化量除以对应自变量x的微小变化量。

(求导的数学意义是微小线段的斜率)求导原理。

如果是y=4x,我们很容易求出导数为4。

但是y=4x²就复杂一些，这类求导都会用到一条特殊的数学原理。

x增加无穷小的Δx，则导数为[4(x+Δx)²-4x²]/Δx，化简之后是8x+4Δ×。

我们知道Δx是无穷小，最后的结果应该是8x，但是数学是严谨的学科，不能凭感觉就直接丢掉无穷小，除非能够证明。

(分形几何可以得到很多无穷小的线段)实际上无穷小就是在证明之后丢掉的，在数学中，一个数加上或减去无穷小后大小不变。

比如1-Δx=0.9999……，而0.9999……=1在数学上已经得到了严格的证明。

稍微复杂的求导都会用到这一数学原理，可以说它就是求导的基本原理。