贝尔不等式

施郁（复旦大学物理学系教授）贝尔不等式是定域隐变量理论所服从的不等式，它并不适用于所有的隐变量理论。

考虑两个分离的子系统，分别被各自的观测者测量。

在定域实在论的前提下，可以推导出某中两个子系统的各种测量结果之间的关联所满足的不等式。

所谓定域实在论是这样体现的。

首先，假设有一个隐变量的几率函数。

然后假设每个子系统的测量结果是相应的测量装置的设置和隐变量的函数。

然后，两个子系统的测量结果的关联可以定义为它们测量结果的乘积对于隐变量的几率函数的平均。

考虑测量装置的几种不同设置，可以推导出一个不等式。

这就是贝尔不等式。

实际上，有好几种贝尔不等式。

可以证明，如果这两个子系统处于量子纠缠态，用量子力学算出的与在隐变量假设下的关联所对应的量子力学关联。

可以看出，对于测量装置的某些设置，量子力学关联违背了贝尔不等式。

违背贝尔不等式不代表否定所有的隐变量理论。

比如，我们可以举两个可能性的例子，并不能为贝尔不等式否定，虽然非常奇怪，。

一个是非定域（或者说超光速）关联：对于相距任意远的两个测量装置，一个装置的测量结果能瞬时影响另一个装置。

另一个是没有自由意志，也就是说两边的测量者的各种选择其实都是事先决定好的，这样就不需要超光速信号的传播。

不是把隐变量理论完全否定了。

只是天平倾向了量子力学。

可以读读下文，会对你有帮助的。

导读：本章摘录量子力学书籍《见微知著》第一章。

第一章：从EPR悖论，到贝尔不等式在写这一章之前，我要用费曼的话来做开头：“我确信没有人能懂量子力学。

” 你现在不了解这句话的深意，但看完这篇文章之后，你会有所赞同。

在量子力学中，我们熟知的概念有波粒二象性，不确定性原理，互补原理，概率云等，但还有一个被很多人不知道的定理，那就是贝尔不等式。

贝尔不等式在量子力学中的分量，举足轻重，不容忽视。

就好像迈克尔莫雷实验对于物理学的影响是一样的，是具有划时代性的发现。

所以我有必要先一步来介绍贝尔不等式，为我们后面理解量子世界打下基础。

先来认识一下这位卓越的物理天才吧。

读读他的简介，我确实有自惭形秽的感觉。

贝尔全名约翰·斯图尔特·贝尔。

他出生于北爱尔兰的贝尔法斯特。

11岁时便立志成为一名科学家，16岁时便从贝尔法斯特技术学校毕业。

之后进入贝尔法斯特女王大学就读，1948年取得了实验物理的学士学位，隔年再取得了数学物理学位。

接着他到了伯明翰大学研究核物理与量子场论，并在1956年获得博士学位。

这段期间里，他认识了在从事粒子加速研究的物理学家玛莉·罗斯，两人在1954年结婚。

1964年，他提出了轰动世界的贝尔不等式，对EPR悖论的研究做出了重要贡献。

很多人看到这里会问了，什么是EPR？大家大概都知道爱因斯坦和波尔是一对物理界的冤家，他们之间的争辩很有名。

其中EPR论文之争可以说是众所周知，当然这种争论多多益善，因为EPR之争，促进了新思想，新思路，新发现。

上面所说的贝尔不等式，就是在这样的环境中诞生的。

虽然贝尔发现贝尔不等式的时候，爱氏已经去逝，但这依然是对他最好的礼献。

来了解一下什么是EPR悖论？EPR悖论是E:爱因斯坦、P:波多尔斯基和R:罗森1935年为论证量子力学的不完备性而提出的一个悖论（佯谬） 。

EPR 是这三位物理学家姓氏的首字母缩写。

这一悖论涉及到如何理解微观物理实在的问题。

爱因斯坦等人认为，如果一个物理理论对物理实在的描述是完备的，那么物理实在的每个要素都必须在其中有它的对应量，即完备性判据。

当我们不对体系进行任何干扰，却能确定地预言某个物理量的值时，必定存在着一个物理实在的要素对应于这个物理量，即实在性判据。

他们认为，量子力学不满足这些判据，所以是不完备的。

EPR 实在性判据包含着“定域性假设”，即如果测量时两个体系不再相互作用，那么对第一个体系所能做的无论什么事，都不会使第二个体系发生任何实在的变化。

人们通常把和这种定域要求相联系的物理实在观称为定域实在论。

如果你仔细读了上面这段话，我相信你大概知道了什么意思。

如果你不知道，也没有关系。

我尽量浅显的为你解释一下。

现代物理学在评判一个理论的正确性或成功性时，最重要的标准是该理论本身的自洽性和能否很好地解释实验规律，因此，即使该理论违背了直觉或一些早已在人们心中根深蒂固的“事实”，那也在很大一部分程度上是可以接受的。

真正的好的理论或伟大的理论，并不是它能够推翻人们先前对这个世界的某些认识，或其多么晦涩难懂，而是，首先它是自洽的并且能够完美地解释和预测实验，其次它是简洁直观的。

就像EPR论文对量子力学的质疑给出条件，任何成功的物理理论必须满足以下两个条件：1、物理理论必须正确无误。

2、物理理论必须给出完备的描述。

对于第一个条件，物理理论是否正确，决定于物理理论预测符合实验检验结果的程度。

在这方面，量子力学的预测与实验检验结果之间，并没有什么明显的差别，可以很好的描述微观世界。

量子力学似乎正确无误。

那么EPR论文主要聚焦于第二个条件，EPR论文对于“完备性”这术语给出必要条件（完备性判据）：物理实在的每个要素都必须在物理理论里有其对应的要素。

换句话说，一个完备的物理理论必须能够准确描述物理实在的每个要素。

EPR论文又对于“物理实在的要素”这术语给出充分条件（实在性判据）：假设在对于系统不造成任何搅扰的状况下，可以准确地预测（即以等于100%的概率）一个物理量的数值，则对应于这物理量存在了一个物理实在的要素。

EPR论文接着开始描述，先前相互作用的两个粒子，在分离之后的物理性质。

EPR论文推论出位置、动量都是物理实在的要素，都能够分别预先决定粒子B的准确位置、准确动量。

但是，这违背了量子力学的不确定性原理，因为位置算符与动量算符不对易，无法同时确定粒子B的位置与动量。

因此，对于位置和动量，量子力学无法给出对应的理论要素。

EPR论文断言，量子力学对于物理实在的描述并不完备。

EPR论文最后这样说：“我们已指明波函数不能对于物理实在给出完备性描述，在这同时，我们暂且搁置关于这描述是否存在的问题，然而我们相信，这种完备性的理论可能存在。

”局域论与实在论，合称为“局域实在论”。

EPR作者借着EPR思想实验来指出局域实在论与量子力学完备性之间的矛盾，这论述就是所谓的“EPR悖论”。

定域论只允许在某区域发生的事件以不超过光速的传递方式影响其它区域。

实在论主张，做实验观测到的现象是出自于某种物理实在，而这物理实在与观测的动作无关。

换句话说，定域论不允许鬼魅般的超距作用。

实在论坚持，即使无人赏月，月亮依旧存在，即与观测者无关。

将定域论与实在论合并在一起，定域实在论阐明，在某区域发生的事件不能立即影响在其它区域的物理实在，传递影响的速度必须被纳入考量。

简单的讲就是这样的，爱因斯坦等人认为量子力学这个理论是正确的，但是不完备的。

就是说你这个理论不自洽，有模糊的地方。

粒子的位置怎么会不确定呢？ 他们相信会有一个更完备量子理论。

玻尔意识到这个问题的严重性，放下手头的所有工作，专心来解决这个问题。

从爱因斯坦等人给出的第二个条件的要素要求：“假设在对于系统不造成任何搅扰的状况下，可以准确地预测（即以等于100%的概率）一个物理量的数值，则对应于这物理量存在了一个物理实在的要素。

”开始了他的反驳。

玻尔的思维是这样的，任何测量不可能没有任何搅扰。

也就是说测量系统，测量行为必然会影响测量结果。

玻尔认为测量物体与测量机器本身就是不可分的系统。

这样就说明了爱因斯坦的前提“定域实在论”假设不成立。

其实这个很好理解，举例来说因为万有引力存在，我们不能避免测量系统，测量行为与测量物质的绝对隔离。

也就是说我们要在能量空间中测量微观粒子的运动的位置和速度，怎么可能避免能量的搅扰呢！这个我在上面第一章就有提到。

也就是说这种这种搅扰不是你可以把握的事情。

所以你就不能做到同时准确测量到粒子的位置和动量。

我们本身不是粒子。

同步这个词，在量子世界就变的非常玄妙，大家好好想想。

就像玻尔的声明，“没有量子世界，只有抽象量子力学描述。

我们不应该以为物理学的工作是发现大自然的本质。

物理只涉及我们怎样描述大自然”。

帕斯库尔·约当也强调，“观测不只搅扰了被测量的性质，它们造成了这性质……我们自己造成了测量的结果。

”大多数量子学者都持有这观点，虽然这观点也给予测量动作异常奇怪的功能。

但定域实在论是经典力学、相对论、电磁学里很重要的特色，但是，由于非定域量子纠缠理论，量子力学不能接受定域实在论。

EPR佯谬也不能接受非定域量子纠缠理论，因为这理论可能与相对论发生冲突。

我坚持认为量子力学是正确的理论，也是完备理论。

相对论也是正确的理论。

但都有需要修改的地方。

不确定性原理，并不与相对论发生“真实”冲突。

《变化》中引力场海洋的例子就是最好的说明。

同时爱氏场方程的非线性波动性质，也说明了这一点。

摘自独立学者，科普作家灵遁者书籍《见微知著》