圆锥体的体积

圆锥的体积是1/3底面积乘以高。

不过这个公式的证明并不直观。

如果我们学过微积分的话，这个公式是可以用微积分直接计算出来的。

现在假设我们没有学过微积分，尝试用初等（简单）的方法证明。

首先我们设想一个正方体，在正方体的正中央点O向正方体的6个面分别构造6个5面体。

由于这6个5面体是全同的，所以任何一个5面体的体积都是正方体体积的1/6。

假设正方体的边长是a，如图对5面体OABCD而言，其体积是对5面体OABCD而言，它的底是正方形ABCD，底面积是a的平方。

由顶点O向底引垂线，垂线的长度是h，h=a/2因此OABCD的体积可表示为：1/3底面积乘以高。

这在形式上就已经是圆锥体的体积公式了。

我们可以设想正方体发生了“伸缩形变”，比如正方体沿上下方向拉长了，变成一个长方体，变成长方体后5面体OABCD的体积应当仍然是长方体体积的1/6。

因为我们在做这个“拉长”动作的时候，6个全同部分都同时在上下方向增长了相同的比例。

因此对拉长了的5面体OABCD，其体积公式仍然是：1/3底面积乘以高。

假设P是底面ABCD的中点，我们考虑四面体OABP，由于ABCD是正方形，四面体OABP的体积是5面体OABCD的1/4，这意味着四面体OABP的体积仍然是：1/3底面积乘以高。

我们现在对长方体ABCD继续做“伸缩变换”，假设我们让长方体延左右方向（即AB方向）缩短一个比例，由于5面体OABCD中全同的四个部分同时延AB方向缩短了相同比例，所以被“压缩了”的OABP的体积依然是：1/3底面积乘以高。

最后我们考虑一个圆锥体，圆锥体的底面是个圆，我们可以把圆割成无数个小三角形，考虑其中某一个小三角形PAB，由于AB很短很短，这样的考虑并不会产生任何误差（换句话说是严格的）。

假设圆锥的顶点是O，我们由O向底面圆的圆心P引垂线，得到一个四面体OABP，这个四面体的体积是：1/3底面积乘以高。

现在圆锥是很多很多个这样的四面体围绕OP轴线组成的，圆锥的体积是这些四面体的体积之和，所有这些四面体的高是相同的，都是OP的长度h，因此圆锥的体积是：所有的PAB这种小三角形拼起来是一个圆，它们的面积之和自然是圆的面积。

因此圆锥的体积也是：1/3底面积乘以高。

这里r是底面圆的半径。