拉格朗日中值定理证明

拉格朗日中值定理证明 为什么不能用拉格朗日中值定理证明洛必达法则？

（罗比达法则大家都知道，这里就不累述了！）我们先看一下罗比达法则标准证明的简略版：下面以 x → a⁺ （-∞ ≤ a < +∞） 为例（x→ a⁻类似）。

当 f/g 是 0/0 型时，在 区间 [a, x] 上，根据 柯西中值定理，有：其中，c ∈ (a, x)。

注意：有罗比达法则的条件 g'(x) ≠ 0。

0/0 型 说明，f(a) = g(a) = 0，于是：因为，c ∈ (a, x)，所以 当 x → a⁺ 时，有 c → a⁺，故：将等式，最左边 极限符号 c 替换为 x，最终得到：得证！当 f/g 是 ∞/∞ 型时， 令：下面以 -∞ < K < +∞ 为例 ( K = ±∞ 类似)。

根据极限定义，对于 任意 ε > 0 都存在 δ > 0 使得，所有 a < x < a + δ，都有：令，b = a + δ，再 区间 [x, b] 上 根据 柯西中值定理，有：其中，c ∈ (x, b)，说明 a < c < a + δ，c 满足上面不等式，于是：现在让 b 固定 让 x → a⁺ ，由 ∞/∞ 型，知道 g(a) = +∞，所以 g(x) → +∞ > 0，于是 从上面不等式可以得到：由于， x → a⁺ 时，g(x) → +∞ ，而 b 固定 b ≠ a，所以 f(b) 为 非无穷常值，于是 f(b)/g(x) → 0，这样最终得到：由， ε 的任意性，知：即，得证！注意：以上证明以说明思路为主，细节上存在漏洞！以上标准证明中 (1) 和 (2) 处会用的 柯西中值定理，如果用 拉格朗日定理替换，以 (1) 为例，在 区间 [a, x] 上有：两个等式相比得到：这看着与 (1) 很像，但是仔细观察发现： (1) 处等式左边 只有 一个 c ，这有两个 c₁ c₂。

我们并不能保证 c₁ = c₂ = c，所以这里和 (1) 处 等式不同。

进而，因为 推导的结果不同，所以，不能用 拉格朗日定理替换柯西中值定理。

结论：在罗比达法则的标准证明中，我们无法直接使用 拉格朗日定理，因为 不能从 拉格朗日定理 直接得到 标准证明所需要的 柯西中值定理 形式。

当然，证明罗比达法则有多种方法，有些情况不一定要用到 柯西中值定理，比如：0/0 型 ，a ≠ ±∞ 时，由 f(a) = g(a) = 0 直接到：所以就更不需要 拉格朗日中值定理了！至于，是不是有 直接使用 拉格朗日中值定理 证明 罗比达法则的非标准方法，小石头才疏学浅，目前不知道！

大家好，我是拉格朗，请问中值在哪里