第一次数学危机

第一次数学危机 是谁引发了第一次数学危机？最终结果如何？

第一次数学危机指古希腊数学家毕达哥拉斯的学生希帕索斯，在质疑根号二是否是有理数时引发的危机，直到定义出无理数，第一次数学危机得以解决。

公元前400年左右，以毕达哥拉斯为代表的毕达哥拉斯学派获得了丰硕的数学成果。

例如他们提出了毕达哥拉斯定理（中国称勾股定理）。

这个定理告诉我们：一个直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。

同时，毕达哥拉斯学派认为万物皆数，而且都是有理数。

所谓有理数，就是指可以表示成两个互质的整数的比（分数）的形式的数。

有理数可以分成三类：1. 整数。

例如3（可以表示成3/1）2. 有限小数。

例如2.5（可以表示成5/2）3. 无限循环小数。

例如0.333...(可以表示成1/3）0.806806806...（可以表示成806/999）毕达哥拉斯学派认为：数轴上的点与有理数一一对应，任意一个线段长度都可以表示成两个整数的比。

在毕达哥拉斯学派为自己的成就沾沾自喜时，学派内部一个年轻学者希帕索斯提出了一点疑问。

请问如果一个直角三角形两个直角边都是1，那么斜边的长度如何表示成两个整数的比呢？显而易见，这个长度是根号2。

现在我们知道，根号二不是有理数，因此不能表示成两个互质的整数的比。

但是这样就动摇了毕达哥拉斯学派信仰的基础：万物皆是整数（或整数的比）。

这个问题因为无法得到合理的解答，最终可怜的希帕索斯被毕达哥拉斯扔进了爱琴海里。

希帕索斯也成为历史上为探究真理而献身的人。

现在我们知道，数轴上的点与实数一一对应，而实数包含有理数与无理数两类。

所谓无理数，就是无限不循环小数，无法表示成整数的比。

例如圆周率pi=3.1415926...、自然对数的底e=2.71828...、根号二等，都是无理数。

数学历史上一共发生过三次危机，今天我们来说说第一次危机。

要知道这次危机的出现，冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。

毕达哥拉斯门派的起源 毕达哥拉斯生于爱琴海东部的萨莫斯岛，家境殷实，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学，也是是古希腊伟大的数学家、哲学家。

他除了钻研出了直角三角形的边长关系外，还在数论上贡献巨大。

将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等等。

当时的毕达哥拉斯也被大家认为是神话人物赫尔墨斯的转世，拥有某种神秘的力量。

毕达哥拉斯表示既然你们这么看得起我，那我也肯定不会辜负你们。

在公元前580～568年之间的古希腊，他建立了毕达哥拉斯学派。

这是一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别，也是一个唯心主义流派。

毕达哥拉斯的成就 他研究出，以直角三角形的两短边为边长作方形，其面积之和正好等于以斜边为边长的方形面积，简单的来说就是咱勾股定理。

虽然古巴比伦人早就有所记载，不过毕达哥拉斯却给出了系统的证明，这也不失为一个伟大贡献。

作为一个唯心主义派的头头，在发现这个定理后，他还特定杀了100头牛来祭祀缪斯女神，以谢神灵的启示，因此这个定理又被称作“百牛定理”。

（小天在想如果杀的是100头猪，是不是叫百猪定理了） 除去在数学方面的成就，在音乐上，老毕也颇有造诣。

他发现琴弦的长度反比于琴弦的频率，两个长度呈简单整数比的琴弦能够发出和谐的声音。

例如一组长度比为2的琴弦同时d奏发出的声音就特别的和谐。

但是，这样的组合过于和谐以至于失去了一些变化，于是毕达哥拉斯想出了新玩法。

他以一根固定长度的琴弦为基础，以3:2或4:3这样的比值找到了制作了其它的琴弦。

毕达哥拉斯用这种方法创造了一套互相有明确数学关系的音律，被称作五度相生律。

这套定律不仅成为了毕达哥拉斯学派各种艺术活动中的基石，也流传至后世一直影响着现代的音乐理论。

因此老毕更加确定了“万物皆数”的正确性，进一步得出了所有数都能通过分数的形式表示出来。

五度相生律又让门徒们觉得自己当时没有认错师傅啊，师父实在是太厉害了。

在这么多人的崇拜下，老毕有点飘了，秉着严师出高徒的理念，他制定出了很多奇葩规定。

1．禁食豆子。

2．东西落下了，不要用手拣起来。

3．不要去碰白公鸡。

... 13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。

14．不要在光亮的旁边照镜子。

15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起。

根号2的发现 整个学派里弥漫这一股神秘的宗教色彩，门徒有男有女，并且地位平等，一切财产都归学派所有，颇有种当年我们中国人民公社的感觉。

其学派中的一个成员希帕索斯，是老毕的忠实粉丝，对他的所有理论都双手双脚赞成，犹如恋爱中的女生一样，“他说什么都是对的”。

有一天，爱学习的他打算再研究研究毕达哥拉斯定理，他先是假设了一个边长为1的正方形，准备运用老师所教授的知识算出对角线。

可是这一算，他发现不太对劲，因为这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

但根据毕老师的观点，这个数字是不存在的啊！希帕索斯兴奋的把这个发现告诉毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯知道这件事情后，先是眉头一紧，随后又对小希说：“这件事你知我知，不要告诉其他人了。

” 小希表示不解，问道“为什么，这可是重大发现呢”？ “没有为什么，你先出去吧” 希帕索斯悻悻离开，毕达哥拉斯陷入沉思，自言自语道，“果然还是有人发现了这个秘密”。

其实毕达哥拉斯早就知道这个无法表示的数字存在，但是为了不打脸，他决定沉默。

希帕索斯在询问老师解释未遂后，这更加激起了他的好奇心，最后还是将这个消息传了出去。

结果当然是引得毕达哥拉斯勃然大怒，称希帕索斯是叛徒，有意破坏学派的和谐。

于是派出其他的门徒立马将其捉拿，并处以极刑——活埋。

希帕索斯听到了一些风声，打算连夜乘船流亡他乡。

可没想到还是被毕达哥拉斯的门徒追上，他们索性将希帕索斯五花大绑，溺入了冰冷的地中海之中。

小小√2的出现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

虽然倒下了一个希帕索斯，但是还有千千万万个希帕索斯站出来，毕竟真理是淹没不了的。

人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”（irrational number），之前毕达哥拉斯所认为是宇宙全部的数（整数和两个整数之比），称为有理数。

在约公元前490年~前425年，古希腊著名哲学家芝诺又提出四条著名的悖论。

第一，“二分法”。

运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。

第二，“阿基里斯永远追不上乌龟”。

阿基里斯是希腊跑得最快的英雄，而乌龟则爬得最慢。

但是芝诺却证明，在赛跑中最快的永远赶不上最慢的，因为追赶者与被追赶者同时开始运动，而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点，如此类推，他们之间存在着无限的距离，所以被追赶者必定永远领先。

第三，“飞矢不动”。

任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在。

飞矢通过一段路程的时间可被分成无数瞬间，在每一瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。

第四，“运动场”。

有两排物体，大小相同，数目相等，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾。

芝诺认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间。

以上四条悖论从根本上又再一次挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。

无理数的发现与“芝诺悖论”掀起了一场数学思想的大革命，科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。

值得一提的是，后来人们又证明：不仅仅是存在着无理数，而且无理数的数量还远远多于有理数。

（毕达哥拉斯表示哭晕在厕所）