关于解析函数项级数介绍

[拼音]：jiexi hanshuxiang jishu

[外文]：series of analytic functions

由解析函数组成的级数。在实分析中，可导函数的一致收敛级数不一定可导。例如由外尔斯特拉斯定理知道，在[α，b]上连续的任何函数可表示为一致收敛的多项式级数。在复分析中有不同的结果：一致收敛的解析函数项级数是解析函数。

设ƒn(z)(n=1，2，…)是在区域D内连续的函数。如果对任何紧集K嶅D以及任何ε>0，存在着正整数N=N(K，ε)，使得对n≥N及任何z∈K，，则称级数（简写为）在D内任何紧集上一致收敛。如果对任何紧集K嶅D，级数收敛，则称在D内任何紧集上正规收敛。正规收敛性在应用中是常见的；显然，如果 在D内任何紧集上正规收敛，那么它在这种集上一致收敛。

应用柯西公式（见柯西积分定理），K.外尔斯特拉斯证明了下列定理：设ƒn(z)(n=1，2，…)在区域 D 内解析，如果在D内任何紧集上一致收敛，那么它的和ƒ(z)在D内解析，而且在D内，，此式右边的级数在D内任何紧集上一致收敛。如果 在D内任何紧集上正规收敛，那么级数在D内任何紧集上也正规收敛。

形如(简记为，式中αn和z0为复数)的级数是一种特殊的解析函数项级数，称为幂级数。

对于这种级数有下列阿贝尔引理：设在z1≠z0收敛。则对满足的任何z，级数绝对收敛。

由这引理出发，可以证明任何幂级数属于下列三种情况之一。

（1）存在着有限正数R;级数在圆盘|z-z0|<R内绝对收敛而且在这圆盘内任何紧集上正规收敛;当|z-z0|>R时，级数发散。这时R称为级数的收敛半径，|z-z0|<R称为收敛圆盘，|z-z0|=R 称为收敛圆周。

（2）对任何z≠z0，级数发散；这时称级数的收敛半径为0。

（3）对任何z，级数收敛，从而在任何紧集上正规收敛；这时称级数的收敛半径为+∞。

由外尔斯特拉斯定理，在第一种情况下，幂级数在收敛圆盘内解析，并且可逐项求导数；在第三种情况下，幂级数表示一整函数(即在整个有限复平面解析的函数)，并且可在有限复平面内逐项求导数。

在第一种情况下，幂级数在其收敛圆上的点可能收敛，也可能发散。例如的收敛半径都是1，而在收敛圆周上，第三个级数处处收敛；第一个级数处处发散；第二个级数在－1收敛，在1发散(可证明它在收敛圆周上除去1外处处收敛)。对于在圆周上某些点收敛的幂级数，有下列阿贝尔－施托尔茨定理：设幂级数有收敛半径R(0<R<+∞)，并且它在收敛圆周上一点z*收敛。作以z*为顶点、以z0及z*的联线为平分角线，并且角度小于π的角。那么当z在收敛圆盘内且在这角域内趋近于z*时，有

。

幂级数的收敛半径R可以用下列柯西-阿达马公式求出：

；

当上式右边中分子为+∞时，R=0；当它为0时，R=+∞。