关于贝尔函数介绍

[拼音]：Bei’er hanshu

[外文]：Baire function

在研究函数的连续性基础上产生的一类重要的函数。R.L.贝尔于1899年提出如下的函数分类方法：以区间[0，1]上的函数为例，[0，1]上的连续函数称为0类函数。0类函数序列点点收敛的极限函数，当它不是0类函数时，就称为1类函数。1类函数序列点点收敛的极限函数，如果不是0类或1类的函数时，便称为2类函数。依次对每一个自然数n，可以引入n类函数的概念。如果{ƒυ}，v=1，2，…，ƒυ是nυ类函数，{nυ}是自然数列的子序列，{ƒυ}点点收敛于ƒ(x)，当ƒ(x)不是任何n类函数(n是自然数)，称ƒ(x)是ω类函数。如此再继续定义ω+1，ω+2，…类函数。用超限归纳法对一切序数η，都可以定义η类函数。 所有这些类的函数统称为贝尔函数，而贝尔函数的全体称为贝尔函数类。[0，1]上的狄利克雷函数D（x）（它在有理点上取值为1，无理点上取值为零）不是1类函数，但，所以D(x)是2类函数。可以证明，当序数α<α1（α1是第一个不可列的序数）时，α类是不空的，但α1类是空集。另外，贝尔函数类的势（或基数）与[0，1]的势相等。但[0，1]上所有实函数的势大于[0，1]的势。因此定义在[0，1]上的函数中有很多不是贝尔函数。贝尔函数类的另一等价的定义是：包含连续函数全体且对点点收敛的极限运算封闭的最小函数类。

类似地，在n维空间与一般的拓扑空间也可引入贝尔函数类。

深入讨论函数的连续性、可微性、可积性时必不可少的重要集类。设G、F分别表示 n维欧几里得空间Rn中开集、闭集全体。凡是能表示成G（或F）中一列集{An}的交 (或和)的集的全体记为Gδ（或Fσ）。凡能表示成Gδ（或Fσ）中一列集{An} 的和（或交）的集的全体记为Gδσ(或Fσδ)，如此又继续可以定义出新的集类Gδσδ、Fσδσ，…。同贝尔函数类一样，对一切序数可用超限归纳法来依次定义新的集类。同样可以证明：当序数α<α1时，上述定义能产生新类型的集，而从α1开始就不再产生新类型集了。由上述方式得到的每个集称为Rn上的波莱尔集。波莱尔集全体称为 Rn上波莱尔集类(也称波莱尔域)，记为B(Rn)。波莱尔集类还有几种等价的定义:B(Rn)是包含Rn中一切有限“立方体”的最小σ环；B(Rn)是包含Rn中一切开集的最小σ环；B( Rn)是包含Rn中一切闭集的最小σ环。（见测度论）

在一般拓扑空间中可类似地引入波莱尔集类。

设ƒ是拓扑空间Χ上的实函数，如果对任何实数с，集｛x│ƒ(x)<с｝是波莱尔集，则称ƒ是Χ上的波莱尔可测函数。Χ上的贝尔函数都是Χ上的波莱尔可测函数。同样，设E是Χ的子集，如果E的特征函数IE(即在E上值为1，E的余集上值为0的函数)是Χ上的贝尔函数，则称E是贝尔集。贝尔集都是波莱尔集。当Χ=Rn时，波莱尔可测函数（波莱尔可测集）都是贝尔函数（贝尔集）。

深入研究直线上波莱尔集与勒贝格可测集的关系时发现的重要集类，它们在近代随机过程中有广泛的应用。设(Ω，F)是可测空间，E为紧的度量空间，记K(E)×F={A×F是E中的紧集，F∈F}，(K(E)×F)σδ是K(E)×F中的集作可列和后再进行可列交的运算而得到的集类。设B∈(K(E)×F)σδ，称B在Ω上的投影Ⅱ(B)为Ω中的F解析集。它们的全体记为φ(F)。若用P表示(Ω，F)上的概率测度全体，Fp(p∈P)表示F用p作完全化扩张而得到的σ代数，则利用乔格的容度理论可证明。

特别，当E=Rn，n=1，2…，Ω=[0，1]，F=B[0，1]时，EX[0，1]上的波莱尔集在[0，1]上的投影是解析集，并且φ(F)是[0，1]上勒贝格可测集类的真子集。