关于沃尔什逼近介绍

[拼音]：Wo’ershi bijin

[外文]：Walsh approximation

借助于沃尔什函数系的逼近称为沃尔什逼近。1922年出现了拉德马赫尔函数，在工程上称为开关函数。这是一个以1为周期的标准正交系。在基本区间[0，1)上它们的定义如下：φ0(x)=1，若0≤x<1/2；φ0(x)=-1，若1/2≤x<1。对任一自然数n，容易看出，对每个n，φn(x)在[0，1)的2个等分区间上交错地取值1与-1。沃尔什函数系是拉德马赫尔函数系的完备化，首先由美国数学家J.L.沃尔什于1923年给出。如果把自然数n依二进表示为其中

则沃尔什函数wn(x)的定义为

w 0(x)=1，

式中乘积是对一切满足n-j=1的j而取。系{wn(x)}同样以1为周期。例如，依二进制，13可表为13=23+22+20，故，而有。在工程上常用列率序的沃尔什函数。为此需要数的格雷码。设对集{0，1}引用伪加运算如下：

而对任意两个二进制实数

定义伪加，这里求和由-N +1与-L+1中较小者开始。一个自然数的二进代码是(n_N+1，…，n-1，n0)，它的格雷码G(n)便是

对应的数是，这里约定 n-N=0。反之，如果知道了自然数 k的格雷码，则原来的数k的二进代码是

。

于是，列率序的沃尔什函数系就是｛wαln(x)｝，其中。利用格雷反码G -1(k)，自然有。在数学讨论中以系{wk(x)}为便，但在工程上则以列率序为便。下面列举依列率序的沃尔什函数系的一些性质。

（1）乘法公式 对任意k， j=0，1，2，…有

。

（2）第二乘法公式 对[0，1)中每个y，除有限个点不计外，关于x都有

(k=0，1，…)。

（3）在整个实轴上，除一个可列集不计外，wαl2k(x)是偶函数而wαl2k+1(x)是奇函数，k=0，1，…。此外，在周期区间[0，1)上，每个wαlk(x)的变号次数恰好是k，k=0，1，…。

（4）函数系{wαlk(x)}k=0，1，…构成[0，1)上的一个完备的标准正交系。

（5）函数系{wαlk(x)}k=0，1，…构成一个可换群。系中对每个n＝0，1，…，前2n个函数{wαl0(x)，wαl1(x)，…，wαl(x)}构成可换子群。

可将这些性质与正弦余弦函数相比较。正是由于性质④，每个以1为周期的可积函数，都有沃尔什－傅里叶展开式：

，

式中它们称为ƒ(x)的沃尔什-傅里叶系数。如果用S(x)表示展开式的首2n项部分和，那么，在区间[0，1)上几乎处处有收敛关系

。

当ƒ(x)是平方可积时，像三角系情形一样，有帕舍伐尔公式成立：

，

并且，展开式的部分和也几乎处处收敛。一个有意义的例子是函数x依沃尔什系的展开式

。

它处处收敛并有很好的应用，例如锯齿波。在考虑逼近问题时，这样的逐段光滑函数用沃尔什展开比用三角级数展开，一般显得更为有效。

对任意整数 p>2，可以讨论一般的 p进沃尔什函数。还可以引进广义沃尔什函数与沃尔什－傅里叶变式。此外，如果引进所谓逻辑导数，就容易给出简单的沃尔什-傅里叶变式表。

设复数Aj=Aj(p)， j=0，1，…， p-1由公式

给出，式中在定义于 [0，∞)上的复值函数。若在这区间上一点x处，和

当N→∞时收敛，则极限值称为ƒ(x)在x的逻辑导数，并记为ƒ<1>(x)。逻辑导数与平常导数的作用颇为类似。例如，对于指数函数eitx，它对x的平常导数是iteitx。对于广义沃尔什函数w(t，x)，关于x的逻辑导数有

等等。可以用逻辑导数存在的程度来刻画函数性质而得到一种分类法，这在逼近论中特别有用。在这里存在逻辑导数意味着具有某种“光滑性”。整个理论构成了p进域的分析学。尤其有趣的是，最佳逼近论中的正、逆定理，各种逼近算子的逼近性态与型可以同样建立，在方法论上显示它自身的特色。现代半导体技术与集成电路的快速发展，使沃尔什函数的产生与应用有了物质基础。快速沃尔什变换比快速傅里叶变换省时。在信息论、线性系统、通信、电视、雷达与计算机等方面，沃尔什分析都有或将有广泛的应用。沃尔什分析形成了非正弦分析的一个极为重要的方向。在理论上它直接通向局部紧群上调和分析。

参考书目

1. 郑维行、苏维宜、任福贤著：《沃尔什函数理论与应用》，上海科学技术出版社，上海，1983。
2. 郑维行、苏维宜： Walsh分析与逼近算子，《数学进展》，第12卷，第2期，1983。