关于谱算子介绍

[拼音]：pusuanzi

[外文]：spectral operator

巴拿赫空间上具有某种谱分解性质的一类算子，它是若尔当型矩阵在无穷维空间的一种推广。

自共轭的常微分方程的边值问题的研究发展成希尔伯特空间上自伴算子（或自共轭算子）的谱论，这是20世纪数学上的重大成就。

自伴算子谱论是对称矩阵酉等价理论的推广，而对一般的矩阵，则问题归结于刻画其完全的相似不变量。至于希尔伯特空间上的非正规算子以至巴拿赫空间上的一般算子的谱论，从理论和应用来看虽然都很重要，但是处理起来十分困难。例如和这件事有关的不变子空间问题，从J.冯·诺伊曼的研究到现在已有半个世纪，进展仍不大。其次，即使解决了不变子空间问题，对许多算子也还难于有一个能与自伴算子谱论相比拟的完全的谱分析。远在20世纪之初，G.D.伯克霍夫等便已研究过一类非自伴的常微分算子的特征展开问题，并且讨论了它的特征展开的收敛性。 F.（F.）里斯和后来的И.М.盖尔范德等人则开展了取值于巴拿赫空间的复变函数论并用于研究一般算子的谱论。30年代末，K.O.弗里德里希斯为研究连续谱扰动而提出了相似方法。正是在以上这些工作的基础上，N.邓福德在50年代创立了谱算子理论。

设B为复平面C上波莱尔子集构成的σ代数。若E是从B到巴拿赫空间X上射影算子族之同态映射，并且E(·)还是一致有界的，即

E(C)=I， E(C σ)=I-E(σ)，

，

‖E(σ)‖≤K（常数） (σ∈B)，

则称{E(σ)｜σ∈B}为谱测度。这里算子A∨B=A+B-AB。

设T是复的巴拿赫空间X上的有界算子。若有谱测度{E(σ)｜σ∈B}使得：

（1）TE(δ)=E(δ)T，，当δ∈B，这里T│M表示T在M上的限制；

（2）E(δ)是可数可加的，即对B中任意可数多个互不相交的集，皆有＝， x∈X，则称T 为谱算子，而称E：δ→E(δ)为T 之单位分解。每个谱算子的单位分解是惟一的。对具紧支集的谱测度{E(σ)｜σ∈B}，则称为标算子。这里需要说明，对简单函数

，

定义，而对上任何有界可测的ƒ(λ)，恒有简单函数列{ƒn(λ)}在上一致地收敛到ƒ(λ)，从而定义

。

T是谱算子的充要条件是T=N+S，这里S是标算子，N是拟幂零算子且N与S可交换。可见谱算子正是若尔当型矩阵在无穷维空间的推广。对希尔伯特空间h上的谱算子，则有更深刻的结果:凡标算子皆相似于一正规算子。h上交换的谱算子之和与积也都是谱算子。

谱算子概念可推广到无界的情况。设线性算子 T之定义域D(T)与值域部在巴拿赫空间X中，且T是闭的，若有可数可加的谱测度使，当且有界；，且TE(δ)x=E(δ)Tx，当而δ∈B；，这里T│E(δ)X之定义域为D(T)∩E(δ)X，则称算子T为无界谱算子。

研究一个算子是谱算子的条件，当然很重要。自伴算子理论已经指出这类问题的困难和一些可能进攻的途径。这里扰动的方法是常用的，据此人们把前述伯克霍夫等人的工作推广到一类谱算子上去。重要的弗里德思希斯方法的大意是对算子T与适当的算子K，如果能找到具有界逆的算子U使得T+K=U -1TU，那么T+K的谱论便化归为T。这些方面的结果，已成功地应用于大量的算子和物理问题。

参考书目

1. N.Dunford and J.T.Schwartz，Linear Operators，Interscience， New York， 1971.