关于分析力学介绍

[拼音]：fenxi lixue

[外文]：analytical mechanics

理论力学的一个分支。以广义坐标描述质点系位置为主要手段的一门经典力学。

研究对象

分析力学适合于研究宏观现象的力学体系。研究大量粒子的系统需用统计力学；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。

分析力学主要以牛顿运动定律为基础，研究“自由”的或“约束着”的质点系的力学问题。把太阳系中每一个星体（行星、卫星、彗星等）看作一个质点，太阳系就是一个自由质点系；星体间的相互作用是万有引力。工程上的力学问题大多数是约束着的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。不同的系统所遵循的运动微分方程不同。

发展简史

1788年出版的J.L.拉格朗日著作《分析力学》是世界上最早的一本分析力学书。分析力学是建立在虚位移原理(1717，见虚功原理)和达朗伯原理(1743)的基础上。1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学普遍方程（又称达朗伯-拉格朗日方程），几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。拉格朗日本人就是根据它导出了两个重要方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。前者用未定乘子乘约束方程的变分式，然后同直角坐标的动力学普遍方程相加而得。第二类拉格朗日方程是用广义坐标表示的完整系统的动力学方程，在工程技术上很重要，因此，常简称为拉格朗日方程。可以用N维q空间或N+1维(q，t)空间配合拉格朗日方程研究完整系统的动力学问题，形成了拉格朗日体系。

1834年，W.R.哈密顿推得用广义坐标 q和广义动量p联合表示的动力学方程，称为正则方程。可用2N 维相空间(q，p)或2N+1维态空间(q，p，t)配合正则方程研究完整系统，这形成了哈密顿体系。在多维空间中可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。

非完整系统的研究，从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年P.阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。

20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。

学科内容

分析力学的研究主要有如下几个方面。

例如，完整系统的拉格朗日方程、非完整系统的阿佩尔方程等。

例如，哈密顿原理、高斯最小约束原理。

例如，平衡点附近的稳定性、周期性轨道是否存在等。

或同接近求解这一目标有关的一切理论，例如：

（1）研究变数变换理论，如正则变换，以利用变换把微分方程化为低阶，或变成形式较简单的方程；

（2）探求运动微分方程的一次积分式和有关理论，以利用它把微分方程降阶；

（3）研究运动微分方程可变数分离的条件；

（4）研究力学系统在(q)、(q，t)、(q，p)、(q，p，t)等多维空间中代表点运动轨迹的几何性质；

（5）寻找正则变换的不变式，例如，积分不变式、泊松括号等。

研究方法

分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。对于质点系的每一质点，依据牛顿第二定律列出沿三个坐标轴的运动方程，这样得到n个质点系共 3n个二阶微分方程，然后再求解。分析力学方法是考虑整个力学系统的能量函数，对于保守系统用动能T和势能V构成标量函数，例如，拉格朗日函数L＝T-V，哈密顿函数H＝T+V等，然后利用它导出运动方程。这样的方程不再包括不做功的约束力。对于具有n个质点和h个约束方程的质点系，运动微分方程的总阶数为2(3n-h)，比牛顿法的总阶数6n要小，容易求解。

分析力学中也可用变分原理（如哈密顿原理）导出运动微分方程。它的优点是可以推广到新领域（如电动力学）和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展了研究多刚体系统，并且跳出了传统使用动力学函数求导的方法来建立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。

参考书目

1. L. Meirovitch， Methods of Analytical Dynamics，McGraw-Hill， New York，1970.