关于涨落耗散定理介绍

[拼音]：zhangluo haosan dingli

[外文]：fluctuation-dissipation theorem

联系不可逆过程中能量耗散和热平衡状态热涨落的重要定理。

外力场中小粒子的布朗运动，遵从朗之万方程

式中m是布朗粒子的质量， v是速度，γ是阻力系数，右边的第一、第二和第三项分别表示布朗粒子所受到的摩擦力、涨落力和外力。20世纪初，A.爱因斯坦在研究布朗运动时，就揭示了扩散系数D和迁移率μ之间的关系D＝μ k T。另外，涨落力F(t)的谱密度同摩擦系数mγ和k T成正比。这反映了摩擦的能量耗散机构和热平衡状态下的涨落密切相关。

朗之万方程式可推广为下述形式

(1)

式中是时间的周期函数，摩擦阻力由粒子瞬时速度决定，但有滞后效应，γ(t)为滞后阻力函数。

布朗粒子受到外力作用时，感应的平均速度是

这里μ(ω)是同频率ω对应的复数迁移率。若对式(1)取平均，注意到涨落力平均值为零，即〈F(t)〉=0，那么容易得到

(2)

式中 孻（ω）是 γ(t)的傅里叶－拉普拉斯变换，。外力K为零时，用复变函数理论可以导出

其中〈υ(t0)v(t0+t)〉和<F(t0)F(t0+t)>分别是速度相关函数和涨落力相关函数。这两个公式称为涨落耗散定理。式(3)和给出复数迁移率(又称导纳)同速度(一般是流)相关函数之间的关系，前者作为后者的傅里叶－拉普拉斯变换，又称第一涨落耗散定理。由它可以得出爱因斯坦关系，可见，爱因斯坦关系恰好是第一涨落耗散定理的特殊情形。式 (4)给出复数阻力系数(一般是阻抗)作为涨落力F(t)的相关函数的傅里叶－拉普拉斯变换，又称第二涨落耗散定理。第一、第二涨落耗散定理表明，迁移率和阻力系数这些代表系统对外力的响应的量和平衡系统没有外力作用时所具有的热涨落密切相关。因为对外界的响应包含能量的耗散部分，故涨落耗散定理由此得名。

导体中作热运动的电子（也是一种布朗运动）在电场作用下，产生热涨落电流密度为

，

则复数电导率为

对应的涨落耗散定理具有如下形式

若σ(ω)同ω无关，则有

。

当横截面为S，长度为L的导电棒处于温度T时，由于电子热运动涨落，棒两端热涨落的电压为V(t)=S j(t)R，式中R为电阻。根据上式，可得涨落电压的相关函数为

，

对于单位体积，应有

，

若取u(t)的傅里叶分量，则上式又可写为

这就是著名的尼奎斯特方程。它首先由H.尼奎斯特给出，它和等价。在建立涨落耗散定理方面，许多学者如H.B.卡伦，T.A.韦尔顿和久保亮五等都作出了贡献。

广义地说，即使是非热力学的涨落行为，也可以同外力对系统的作用联系起来。即不论是经典的，还是具有量子性质的物理量，涨落耗散定理都成立。设憫为同某物理量对应的量子力学算符，K(t)是和时间有关的“微扰力”，则外界对系统的微扰哈密顿算符是，在这种情况下，量子力学的平均值塣不等于零，应是

式中α(τ)是同媒质性质有关的时间函数，它描述系统对外力的响应，又称为响应函数。塣在某一时间t的值，当然只依赖于力K(t)在此时以前各个时刻的值，故塣(t)取上述形式。利用傅里叶变换， 塣和K的关系式塣=α(ω)K中的α(ω)是α(τ)的傅里叶系数，。α(ω)称为广义感应率。 如果知道了α(ω)，则系统在这种扰动下的行为就完全确定了。一般说来 α(ω) 取复数的形式α(ω)＝α┡(ω)＋iα″(ω)。若设K(t)是简正函数，它取如下的实数表示则可以求得来源于外界扰动的单位时间内的能量耗散为

式中感应率的虚部α″可以表示成

，

其中x nm是算符憫的矩阵元。可见，能量耗散决定于感应率的虚部。

卡伦和韦尔顿1951年证明了一个重要关系式

这关系是涨落耗散定理最一般的形式，当平衡系统受到迫使其离开平衡状态的外力作用时，这一关系把物理量的涨落和可能实现的耗散过程联系了起来。从分析平衡态系统的热涨落，可以求得系统的输运性质。

参考书目

1. 户田盛和、久保亮五編：《統計物理学》，岩波，東京，1978。
2. Л.Д.朗道、Ε.М.栗弗席兹著，杨训恺等译：《统计物理学》，高等教育出版社，北京，1965。