关于齐性空间介绍

[拼音]：qixing kongjian

[外文]：homogeneous space

又称齐性流形，是容有可迁变换群的微分流形。齐性空间理论与李群论有极为密切的联系。在几何中出现的许多重要流形都是齐性空间。齐性空间在现代数学的许多分支如李群无限维表示论、调和分析、复变函数、数论和代数几何等方面有广泛的应用。

设M是一个微分流形，李群G可迁地作用在M上，这里可迁的意思是说，对M中任意两点x，y，总存在G中元g将x变到y，即gx=y，这时就称G为M上的一个可迁变换群，M称为齐性空间。

设G是一个李群，h是G的一个闭子群，G关于h 的左陪集空间记为G/h。利用投影映射Π:G→G/h，可以自然地在G/h中引进微分桔构，使其成为一个微分流形。G中的任一元 g将陪集g1h 变为(gg1)h。这样G 就可迁地作用在G/h上。

实际上，齐性空间总可以表达为G/h的形式。在流形M上取定一点x，用h表示G中保持x不动的元素全体，即那么h是G的一个闭子群，称为点x的安定群。作陪集空间G/h，如果g∈G，将点x变到点y，就令y对应于陪集gh，这样建立的对应是惟一确定的，并且是M到G/h的微分同胚，所以M可等同于G/h。由于不同点的安定群是相互共轭的，因此M表达为G/h时，h 除了一个共轭关系外是惟一确定的。

古典的几何学（如射影空间的几何学、非欧几何学、共形几何学等等）依（C.）F.克莱因的分类均可视为具有一可迁变换群的集合，因此可归入齐性空间的范畴。

如果一个黎曼流形的等距变换群 G可迁地作用在其上，就称它为齐性黎曼流形，其度量称为G不变黎曼度量，这是一类重要的齐性空间。例如，对欧氏球面Sn，可以看出正交群O(n+1)可迁地作用在Sn上，而且是等距变换，因此Sn是齐性黎曼流形。单连通完备的常曲率空间容有个参数的可迁等距变换群，所以也是齐性黎曼流形。任意紧李群G都具有黎曼度量，使得在G的乘法(左乘或右乘)作用下黎曼度量不变，因而任意紧李群都可视为齐性黎曼流形。

李群G的一个自同构σ，如果适合σ2=idG，idG表示恒等元素，那么 σ称为对合。记Gsigma;为 σ的不动点集，即对g∈Gσ成立σ(g)=g。显然单位元e∈Gσ，用G表示e在Gσ中的连通分支，那么如果闭子群h 满足Gh Gσ，就称齐性空间G/h为对称齐性空间。例如齐性空间SO(n+1)/SO(n)，这里SO(n+1)为所有行列式等于1的正交阵组成的线性李群。取α=(αij)为而其余元素等于O的对角阵，定义对合，那么σ的不动点集SO(n+1)恰好就是O(n)，而SO(n)，所以SO(n+1)/SO(n)是一个对称齐性空间，它微分同胚于Sn。

对称黎曼流形是最重要的一类对称齐性空间。一个黎曼流形M称为对称黎曼流形，如果对M中每点x，存在关于x的对合σx，这里对合σx是指M的这种等距变换，它以x为孤立不动点，且成立。对称黎曼流形也称为对称黎曼空间。例如，对欧氏空间En中每点x，用σx表示关于x的中心对称，则σx就是一个对合，所以En是对称黎曼空间。欧氏球面Sn上对每点x定义一个变换σx，它将任一点y变到σx(y)，使y，x，σx(y)同在一个大圆（即测地线）上，而y与σx(y)等距地分居于x的两侧，显然σx是一个对合(但有两个不动点)。所以Sn也是对称黎曼空间。

对称齐性空间G/h如果具有G不变黎曼度量，则它也是一个对称黎曼流形。一个单连通完备黎曼流形是对称黎曼流形的充要条件为它的曲率张量的协变导数等于零，即曲率张量在平行移动下不变。

借助李代数的分类定理对于对称黎曼流形的结构和分类问题进行研究，是一个重要途径。É.嘉当在1926～1927年首先完成了对称黎曼流形的完全分类。另一方面，研究齐性空间，特别是对称黎曼流形的拓扑性质及微分几何性质也是非常重要的，这些性质常常可以促使对一般流形的性质提出一些很好的问题和猜想。

参考书目

1. 村上信吾著：《齐性流形引论》，上海科学技术出版社，上海，1983。
2. C.Chevalley，Theory of Lie Groups，Princeton Univ.Press， Princeton， 1946.
3. S.Helgason，Differential Geometry and SymmetricSpaces，2nd ed.， Academic Press， New York， 1979.