关于二体问题介绍

[拼音]：erti wenti

[外文]：two-body problem

研究两个质点按牛顿万有引力定律相互吸引时的运动规律。它是最简单的也是唯一能彻底求解的一种多体问题。在大多数的实际问题中，都以二体问题作为天体真实运动的第一近似。因此，二体问题在天体力学中有其特殊地位。

牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中就证明，从二体问题可严格地导出开普勒定律。在万有引力的作用下，两个天体中的任何一个将沿圆锥曲线绕另一个天体运动。它在轨道平面中的轨迹表达式为：其中a、e分别为轨道半长径和偏心率，它们决定轨道的大小和形状；极角f称为真近点角，它从近点起算。根据运动能量的不同，轨道又可分为椭圆、抛物线和双曲线三类。对于椭圆轨道， e<1和 a>0。当 e=0 时，它代表正圆，这时天体将作等速圆周运动。对于抛物线轨道，e = 1 和，这时天体的速度可表示为，式中G为万有引力常数，M和m为两个天体的质量。由于沿抛物线轨道运动的天体一去不返，故称此速度为逃逸速度（见宇宙速度）。对于双曲线轨道，e>1和a<0。二体问题的解可由六个轨道要素来决定，轨道半长径a和偏心率e就是其中的两个。此外，还有轨道升交点经度Ω和轨道面倾角I，它们决定轨道平面在空间的方向。近点纬度角w 是决定轨道在轨道平面取向的要素，最后一个要素是天体过近点的时刻τ。要确定天体在轨道上的位置，必须建立真近点角f与时间的关系，但是除了抛物线轨道外，很难直接表示这种关系。为此，引进了辅助角──偏近点角作为中介变量。偏近点角与时间的关系可以通过开普勒方程来表示。实际上偏近点角就是用以消去椭圆或双曲线运动中奇点的正规化变量。在经典的天体力学中，常用不同的轨道要素系统来分别描述椭圆、抛物线和双曲线三种不同的轨道。但是对于彗星和行星际飞行器而言，它们的轨道变化于双曲线、抛物线与椭圆之间，采用经典的轨道要素就不太方便。赫里克等提出的通用轨道要素，能同时适用于这三类运动。二体问题的轨道要素可由天体在任一时刻的位置和速度来确定。假设天体在某一时刻的向径为r，与向径垂直的速度为v，当时，则天体将沿着以此点为远点的椭圆运动;当时，则天体将沿着以r为半径的正圆运动；当时，则天体将沿着以此点为近点的椭圆运动；一旦速度v等于或大于该点的逃逸速度时，则天体将沿着抛物线或双曲线远离而去，永不返回。这些关系对于研究宇宙飞船和人造卫星的发射条件是很重要的。

近年来，天体力学中还出现了广义的二体问题。其中有的讨论天体之间的引力遵循广义相对论或其他引力理论时的运动情况；有的讨论两个天体或者其中之一是椭球体时的运动情况；有的则讨论当引力常数或天体质量随时间变化时的情况。对这些问题的讨论，有助于对太阳系天体和人造天体轨道的测定，也有助于对天体自转、岁差和章动及星系的演化的研究。

参考书目

1. 易照华等编著：《天体力学引论》，科学出版社，北京，1978。