关于坐标系介绍

[拼音]：zuobiaoxi

[外文]：coordinate system

用以确定数或数组与基本几何对象（常常是点）之间对应关系的参考系。它是形与数结合的基础。利用坐标系讨论问题的方法就是坐标法。在解析几何里，首先要建立坐标系，在此基础上才能用方程描述较复杂的几何对象（例如曲线、曲面）、坐标法确立了空间形式与数量关系之间的联系，使得用代数方法研究几何问题成为可能，同时也为用变化的观点研究数学问题准备了条件，因此坐标法是高等数学的基本方法之一。

平面内的仿射坐标系

在仿射平面内取定一点O、单位线段与两个不共线的向量 l1，l2，就构成一个仿射坐标系、记为{O;l1，l2}。对于平面内的任何点 P，其向径关于l1，l2有惟一分解式 ，系数x，y称为点p或向量＝关于{O，l1，l2}的仿射坐标，一般记为p(x，y)或＝{x，y}，通过坐标系{O，l1，l2}使平面内点的集合（或向量集合）与有序实数偶的集合建立了一一对应关系。O点称为坐标原点；l1，l2称为坐标向量，它们的坐标分别为(0，0);(1，0)与(0，1)。应该注意的是点p的坐标与原点O的位置有关，而向量的坐标的决定与原点O的位置无关。

空间里的仿射坐标系

在空间里取定一点O、与三个不共面向量l1，l2，l3就构成一个仿射坐标系，记为{O；l1，l2，l3}。 对于空间里的任何点p，其向径关于 l1，l2，l3有惟一分解式， 系数x，y，z称为点p 或向量关于 {O;l1，l2，l3}的仿射坐标，一般记为p(x，y，z)或＝{x，y，z}，通过坐标系{O;l1，l2，l3}使空间里点的集合(或向量集合)与三个实数组成的有序组的集合建立了一一对应关系。O点称为坐标原点；l1，l2，l3称为坐标向量，它们的坐标分别为(0，0，0)、(1，0，0)、(0，1，0)与(0，0，1)。也应该注意点p 的坐标与原点O 的位置有关，而向量的坐标的决定与原点O 的位置无关。

在平面内或空间里，仿射坐标系的坐标向量，分别代表了平面或空间的一个定向，因此取定了仿射坐标系的平面或空间就成了有向平面或有向空间。在平面内，如果将向量l1经过 l1与l2之间的夹角沿逆时针方向旋转而达到向量l2，则称平面为右定向，称仿射坐标系{O；l1，l2}为右旋坐标系，而把顺时针方向进行的情况称为左定向或左旋坐标系。在空间里，从向量l3的终点处观察向量l1，l2所在的平面，如果向量l1，l2决定的是平面的右定向，则相应地称三向量l1，l2，l3所决定的定向为空间的右定向，称仿射坐标系{O;l1，l2，l3}为右旋坐标系；反之，称l1，l2，l3决定的定向为空间的左定向，坐标系称为左旋坐标系。

仿射坐标系还可以推广到高维情况。

笛卡儿坐标系

对于仿射坐标系的坐标向量加一些限制，可以得到特殊的仿射坐标系，在取定单位线段后，坐标向量都是单位向量的仿射坐标系称为笛卡儿斜角坐标系，简称笛氏斜角坐标系或笛氏坐标系。在欧氏平面（或空间）中，有时也用这种仿射坐标系。在笛氏斜角坐标系里，如果坐标向量之间的角都是直角，则仿射坐标系就是直角坐标系，对于仿射坐标系成立的一切结论，在斜角或直角坐标系里仍然成立，反之，对于直角坐标系成立的结论，在仿射坐标系里不一定成立，例如欧氏空间里两点 p1（x1，y1），p2（x2，y2）的距离公式 就是直角坐标系所特有的。

仿射坐标系、直角坐标系是最基本、应用最广泛的坐标系。此外极坐标系也很重要。在欧氏平面内取定了定向（一般为右定向）、单位线段、再取定一点O以及以O为端点的射线Ox（O称为极点，Ox称为极轴），就构成了一个极坐标系，对于平面内的任意一点p，其极坐标一般记为p(ρ，θ)，ρ，θ分别称为点p的极半径与极角，在极坐标系中，点与其坐标之间并不是一一对应的，如果将极半径与极角按照ρ≥0，-π<θ≤π的范围取值，则除极点外，点与其坐标一一对应。在射影几何中常使用射影坐标系（见射影坐标）。

坐标变换

应用坐标法时，坐标系的选取是人为的，选取适当的坐标系，会给问题的解决（例如判定方程决定曲线的类型）带来方便，因此坐标变换的问题是解析几何的重要问题之一。两个不同的坐标系S1，S2，可以是同类的（例如都是直角坐标系），也可以是不同类的（例如一个是直角坐标系，另一个是极坐标系）。根据坐标的性质和坐标系之间的相对位置关系就能得到坐标变换方程，变换方程必须清楚地说明如何从一点关于S1的坐标来计算同一点关于S2的坐标。根据变换方程，同一几何图形（例如曲线）关于S1与S2的方程也就能够互相转化，例如在平面内，如果极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，则得一点p的极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x，y)之间的坐标变换方程为x=ρcosθ，y=ρsinθ，逆变换为(点不在y轴上)，在直角坐标系中，圆的方程是x2+y2=α2，转化为极坐标方程就为ρ=α。

坐标变换的作用在于它可以使曲线（或曲面）的复杂方程转化为较简单方程，从而认清曲线（或曲面）的类型（见二次曲线、二次曲面）。

如果 是两个仿射坐标系。的原点与坐标向量关于{O;l1，l2}的坐标是，这些坐标确定了的位置，用这些坐标可以表述坐标变换方程为

， (1)

式中。这就是说，仿射坐标变换是行列式不等于零的线性变换（见仿射变换）。反之，这种线性变换也总可以用来表示仿射坐标变换，变换(1)可以由以下两个特殊的坐标变换合成：

这两个变换分别表示坐标向量不变与坐标原点不变的仿射坐标变换。

直角坐标变换是仿射坐标变换的特殊情况，由于直角坐标系满足一些特定条件，反映在变换方程里，其系数也受到一定的限制，如果是两个直角坐标系，则变换(1)需满足条件AA┡=E，这里、E为二阶单位方阵，令θ=∠(l1，l姈)，则变换(1)可以表示为

。 (2)

式(2)等号右端方阵第二列每项有两个符号，当两个坐标系定向相同时都取上号，定向不同时都取下号。变换(2)也可以由两个特殊的直角坐标变换合成。

平面仿射坐标变换可以推广到空间，变换方程为

， (3)

式中。如果是直角坐标变换，则变换(3)需满足条件AA┡=E，这里A是变换(3)的系数方阵，E是三阶单位方阵，与平面情况类似，(3)的系数方阵的元素也可以用一个坐标系的坐标向量与另一个坐标系的坐标向量的夹角表示。

如果把一点与坐标系看作一个整体，以平面情况为例，把坐标系{O;l1，l2}搬到新位置{O┡；l姈，l娦}则p点就被搬到它的新位置p┡点，设p与p┡关于{O；l1，l2}的坐标分别为(x，y)与(x┡，y┡)由于p┡与{O；l姈，l娦}的相对位置正如p与{O；l1， l2}的相对位置一样，因而p┡关于{O┡；l姈，l娦}的位置正是(x，y)，据此在坐标变换(1)里将(x，y)与(x┡，y┡)互换就得到

。

这个式子表示点p(x，y)与点p┡(x┡，y┡)关于同一坐标系坐标间的关系，称为点变换公式，它可以作为变换(1)的另一种几何解释。

坐标概念的推广

如果能在平面上给出两族曲线，使得通过平面内任何一点正好有每族里的一条曲线，于是将这两族曲线分别编号，就可以取这两族曲线的编码作为它们所通过点的坐标，用这种方法定出的坐标，通称为曲纹坐标或曲线坐标。上面所建立的仿射坐标、直角坐标、极坐标都是曲纹坐标的特殊情况。曲纹坐标还可以推广到曲面上，如地球上的地理坐标就是由经线和纬线所组成的曲纹坐标。

点的坐标也不必限于实数，例如当平面内一点的直角坐标为(x，y)时，就可以取复数x+yi作为这个点的复数坐标。不仅如此，除点以外还可以取其他各种不同的元素作为基本几何对象而建立各种不同的坐标系，例如平面内可以有以直线为基本对象的线坐标，空间里可以有以平面为基本对象的面坐标等等，所有这些都显示了坐标概念的广泛性。

参考文章

• 球面坐标系概说天文天体
• 地平坐标系：高度和方位天文天体
• 第一赤道坐标系：赤纬和时角天文天体
• 黄道坐标系：黄纬和黄经天文天体
• 第二赤道坐标系：赤纬和赤经天文天体