关于布朗运动介绍

[拼音]：Bulang yundong

[外文]：Brownian motion

又称维纳过程。1827年，英国植物学家R.布朗观察到悬浮在液体中的微粒子作不规则的运动，这种运动的数学抽象，就叫做布朗运动（如图

）。1905年，A.爱因斯坦求出了粒子的转移密度。1923年，美国数学家N.维纳从数学上严格地定义了一个随机过程来描述布朗运动。布朗运动的起因是由于液体的所有分子都处在运动中，且相互碰撞，从而粒子周围有大量分子以微小但起伏不定的力共同作用于它，使它被迫作不规则运动。若以Χ(t)表示粒子在时刻t所处位置的一个坐标，如果液体是均匀的，自然设想自时间t1到t2的位移Χ(t2)-Χ(t1)是许多几乎独立的小位移之和，因而根据中心极限定理，可以合理地假定Χ(t2)-Χ(t1)遵从正态分布，而且对任何0≤t0<t1<…<tn，增量Χ(t1)-Χ(t0)，…，Χ(tn)-Χ(tn-1)，可设想为相互独立。物理上的这些考虑引导到下面的数学定义。

设Χ＝{Χ(t)，t∈R+}为定义在概率空间(Ω，F，P)(见概率）上，取值于d维实空间Rd中的随机过程，若满足①Χ(0)=0；

（2）独立增量性：对任意的0≤t0<t1<…<tn，Χ(t0)， X(t1)-Χ(t0)，…，Χ(tn)-Χ(tn-1)是相互独立的随机变量；

（3）对任意s≥0，τ>0，增量Χ(s+τ)-Χ(s)服从密度为的d维正态分布，式中，表示x 到原点的距离；

（4）Χ的一切样本函数连续。这样的Χ称为（数学上的）布朗运动或维纳过程。

维纳的一个重要结果，是证明了满足①～④的过程的存在性。这样的过程 Χ是独立增量过程，因而是马尔可夫过程，而且还是鞅和正态过程（见随机过程）。其均值函数是一个各分量恒等于零的d维向量函数:EΧ(t)=0；其协方差阵函数（见矩）EΧ(t)Χ(s)┡=(s∧t)Id，其中Id是d阶单位方阵，s∧t表示s、t中小的一个，Χ(s)┡是随机向量Χ(s)的转置。

一维布朗运动的性质中有特色的是其样本函数（见随机过程)的性状。虽然Χ的所有样本函数处处连续， 但几乎所有(即概率为1)的样本函数：

（1）处处不可微分；

（2）在任一区间中非有界变差，当然更不单调；

（3）局部极大点在R+=[0，)中形成一个可列稠集，而且每一个局部极大值都是严格极大的；

（4）二次变差-当区间[0，t]的加密分割的直径趋于0时，以概率 1收敛（见概率论中的收敛）到t；

（5）零点集S0(ω)={t∈R+，Χ(t，ω)=0}是勒贝格测度（见测度论）为零的无界完全集。此外，Χ 限于区间[0，1]上的轨道在C[0，1]中具有下述意义的稠密性:任给[0，1]上的一个满足ƒ(0)=0的连续函数ƒ和任给ε>0，总有。

不属于样本函数性状的一个重要性质是布朗运动的级数表示：设{ξn，n≥0}为独立同分布的标准正态随机变量序列，令

则此级数在 0≤t≤π上以概率1一致收敛，且{Χ(t)，t∈[0，π]}是布朗运动。

多维布朗运动有一个依赖于维数的有趣性质，就是常返性。当d=1，2时，布朗运动是常返的：即从任何一点α∈Rd出发，且任意指定一个α的邻域A，则过程或迟或早地返回A的概率等于1。当d≥3时，此性质不再保留，这时自α 出发作布朗运动的粒子将以概率 1趋于无穷，即，这里Χα(t)=α+Χ(t)表示自α出发的布朗运动。因而自某一时刻以后，粒子不再回到α的附近，而且d(≥3)越大，粒子趋于无穷的速度也越快。设Br是以O为中心，以r为半径的球，定义粒子最后一次离开Br的时刻为λr=sup{t>0:Χ(t)∈Br}，λr称为Br的“末离时”。从O出发的布朗运动Χ首达Br的点与末离Br的点在球面上都有相同的均匀分布，而且λr的概率分布密度函数为

由此可知 E(λr)m< 的充分必要条件是 ，这时E(λr)m＝r2m/(d-4)(d-6)…(d-2m-2)。因此，当d=3、4时，λr各阶矩不存在；d=5、6时，均值(见数学期望)有限，方差无穷；等等。这说明d越大，粒子越快地离开球Br。

d(≥2) 维布朗运动与拉普拉斯算子有密切联系，从而使著名的狄利克雷问题可以用概率方法求解。例如设D为平面上的有界区域，其边界嬠D充分光滑。在嬠D上给定连续函数g(x)，考虑下列狄利克雷问题：求给定边界条件h(x)=g(x)，x∈嬠D下，拉普拉斯方程Δh=0在区域内的（惟一）解。对任何x∈D，令τx=inf{t>0:x+Χ(t)∈Dc}(Dc=RdD，即D的补集)，它是从x出发作布朗运动的粒子首达Dc的时刻，x+Χ(τx)是该粒子首达Dc的点，而h(x)=Eg[x+Χ(τx)]，x∈D就是上述狄利克雷问题的惟一解。这一例子所反映的布朗运动与古典位势之间的关系是普遍的，近来又发展成为一般马尔可夫过程与现代位势论之间的深刻联系（见马尔可夫过程）。

参考书目

1. K.It圠 and H.P.McKean Jr.，Diffusion Processes and Their Sample Paths， Springer-Verlag， Berlin，1965.
2. D. Freedman，Brownian Motion and Diffusion，SpringerVerlag， Berlin， 1983.