关于随机积分介绍

关于随机积分介绍,第1张

关于随机积分介绍

[拼音]:suiji jifen

[外文]:stochastic integral

对某些随机过程类适当定义的各种积分的总称。它们在随机过程与随机微分方程的研究和应用中各有其重要的作用。

伊藤积分

这是对布朗运动定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续,但几乎所有的样本函数非有界变差,甚至处处不可微,因而无法按样本函数来定义通常的黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称RS积分)或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分(简称LS积分)。一般来说,RS积分定义中的达布和不会以概率1收敛到一定的极限,但在适当的条件下,达布和的均方极限存在。伊藤清正是利用这一性质定义了对布朗运动的随机积分。设{,tR+=[0,∞)}是一族上升的子σ域,布朗运动W={W(t),tR+}是()鞅。如果样本连续的有界随机过程φ={φ(t),tR+}是()适应的,那么当有限区间[αb]嶅R+的分割 的直径趋于零时,达布和 的均方极限存在,记作,它称为φ在区间[αb]上对W 的伊藤积分。值得注意的是,在达布和的构造中,被积过程在[tk-1,tk]上的取值点不是随意一点,而只能是它的左端点 tk-1。这是一个严格的限制。完全不加限制时其极限不存在,如作其他的限制,则可能得到另外的极限,从而定义出另外的积分,但最有用的是这种限制。伊藤积分最重要的性质是著名的伊藤公式:设F是二次连续可微的实函数,则

这一公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要的作用。例如,可以用来证明关于布朗运动的鞅刻画的莱维定理:一个从零出发的样本连续过程W={W(t),tR+}为布朗运动的充要条件,是W 和{W 2(t)-ttR+}都为鞅。

对平方可积鞅的随机积分

使E的鞅x={x(t),tR+}称为平方可积鞅,其中x(∞)是当t→∞时,x(t)以概率1 收敛的极限。对一个平方可积鞅x, -x2是类(D)上鞅,因此根据上鞅分解定理,x 2可惟一地表成一致可积鞅M和可料增过程A 之和, X 2(t)=M(t)+A(t)。由此,对任何样本连续的有界适应过程 φ,当[αb)]的分割的直径δ(墹)趋于零时,达布和的均方极限存在,这个极限就称为φ 在[αb)]上对x的随机积分。这种积分也有相应的伊藤公式:对二次连续可微的函数F

右边最后一项是按轨道的LS积分,可料增过程A的轨道是右连续增函数。这种随机积分还可以进一步推广到对局部鞅以至半鞅的积分。

斯特拉托诺维奇积分

在伊藤积分定义的达布和中,如果用在小区间[tk-1,tk]中点的被积过程值φ (或者等价地, 用在两个区间端点的过程值的算术平均代替左端点的过程值φ(tk-1),则均方极限也存在,但此极限与伊藤积分不相同,它定义了用斯特拉托诺维奇命名的另一种积分,记作这种积分的一个优点是,对一个三次连续可微的函数F

它保持了普通微积分中牛顿-莱布尼茨公式的形式。

其他类型的随机积分

常见的还有均方随机积分和对正交增量过程的积分。对一个均方连续的随机过程x,即对一切t0∈R+满足的x,达布和的均方极限存在,它定义了x在区间[αb)]上的均方随机积分,记作其中是[αb]的分割,sk可在[tk-1,tk]上任取,均方极限是在δ(墹)趋于零的条件下取的。设Z 是一个正交增量过程,即对一切 那么对任一[αb]上的连续函数ƒ,达布和的均方极限定义了ƒ在[αb]上对Z的积分,记作。这种对正交增量过程积分的最重要的应用是宽平稳过程的谱表示(见平稳过程)。

随机微分方程

形如 的方程称为伊藤方程,其中α(s,x)、σ(s,x)是一次连续可微的二元函数,W是布朗运动,X是待求的半鞅。由于形式上还可以将方程改写为 dxt)=α(tx(t))dt+σ(tx(t))dW(t)这种微分表示,习惯上常称为(伊藤)随机微分方程。理论上对它已有很多研究,解的存在惟一性问题已经解决,并且有各种形式的推广,如用半鞅代替布朗运动等。但能把解明确表达出来的还只有少数简单的特例,如对x(0)=1,α(s,x)呏0,σ(s,x)呏x,方程有惟一解

它是一个样本连续鞅。

此外,对于均值函数为零的实二阶过程x(见随机过程),可定义其各阶均方导数。若x的协方差函数 Г(s,t)=Ex(s)x(t)二次连续可微,则差商[x(tt)-x(t)]/Δt当 Δt→0 时的均方极限总存在,它定义了x的一阶均方导数。一般地,若 Г(s,t)2n次连续可微,则xn阶均方导数存在。联系着一个二阶过程x及其各阶均方导数之间的方程,如

等,称为均方随机微分方程。求解它,就是要找出满足该关系式的二阶过程x。例如在初值x(0)=ξ下的惟一解是其中α是实常数,ξ为已知的随机变量,Y为已知的均方连续随机过程,而积分是均方随机积分。

参考书目
  1. J.L.Doob,Stochastic Processes,John Wiley & Sons.New York, 1953.
  2. 严加安编著:《鞅与随机积分引论》,上海科学技术出版社,上海,1981。

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