关于埃尔米特插值多项式逼近介绍

[拼音]：Ai’ermite chazhi duoxiangshi bijin

[外文]：approximation by Hermite interpolation polynomials

埃尔米特插值是一种常见的插值方法。假设在区间[α，b]上给定了n个互不相同的点x1，x2，…，xn以及一张数表

(*)

记m=α1+α2+…+αn。早在 1878年C.埃尔米特就证明:存在惟一的次数不高于m-1的代数多项式Hn(x)，使得

，

Hn(x)为表(*)的以 为结点组的埃尔米特插值多项式。如果定义在[α，b]上的函数 ƒ(x)在xk(k=1，2，…，n)处有αk-1阶导数，并取，则称相应的Hn(x)为ƒ(x)的以为结点组的(α1，α2，…，αn)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况，若诸αk都为1，则Hn(x)就是ƒ(x)的拉格朗日插值多项式;若n=1，则Hn(x)为ƒ(x)的α1-1阶泰勒多项式。最使人们注意的是诸αk都为2的情况，这时Hn(x)为次数不高于2n-1的代数多项式。如果写

Hn(x)可表示为

在这种情况下，常取，而给以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度，需对其导数作一定的要求。

为了简单，考虑定义区间为[-1，1]的情况。L.费耶尔首先让，称

为函数ƒ(x)的埃尔米特－费耶尔插值多项式。如果取切比雪夫多项式Tn(x)=cos(n arc cos x) 的零点全体为结点组， 则有绝对常数с，使得对于[-1，1] 上的任一连续函数ƒ(x)都有

式中-1≤x ≤1，ω(ƒ，δ)为ƒ(x)的连续性模。然而，用ƒn(ƒ，x)逼近ƒ(x)有其饱和性，逼近阶最多为1/n。若

关于[-1，1]上的x均匀成立，则ƒ(x)是个常数。但是对于其他结点组，会有较大的差异。例如，取勒让德多项式

的零点全体为结点组时，对于[-1，1]上的连续函数ƒ(x)，相应的ƒn(ƒ，x)仅可能在(-1，1)中内闭一致收敛于ƒ(x)，为了使n→∞时，Fn(ƒ，x)在[-1，1]上一致收敛于ƒ(x)，充分必要条件是

。

这种在区间端点发生奇异的情况并不很稀有，它促使人们去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点xon=1，xn+1n=-1处取值与函数取值相同的要求。从而构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q2n+1(ƒ，x)，即假定结点组是取在开区间(-1，1)中的，而2n+1次代数多项式Q2n+1(ƒ，x)满足条件

，

。

这时，如取为Xn(x)的零点全体，则

。

当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而，倘若将端点作为结点，又会发生剧烈的变化。例如，取

，

，

则以 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式序列Fn+2(ƒ，x)，对于 ƒ(x)=x2这样好的函数，也会在(-1，1)中处处发散。而取

为结点组时，相应的Fn+2(ƒ，x)对于连续函数ƒ(x)却有逼近阶

。

埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如，可以在某些结点处放弃对某些阶导数的要求，这就是所谓伯克霍夫插值。其中常见的是(0，2)插值，也即对于给定的结点组以及数组，，要确定一个次数不高于2n-1的代数多项式使得

，

，(k=1，2，…，n)。当取αkn=ƒ(γkn)时，考虑S2n-1(ƒ，x)对ƒ(x)的逼近，也可以考虑埃尔米特插值多项式对函数及其导数的同时逼近。例如，取

为结点，对于[-1，1]上的可微函数，考虑

对ƒ(x)及ƒ'(x)的同时逼近。此时有

至于对于无限区间或周期函数的情形，自然也可作类似的讨论，只是在周期的情形，有时插值三角多项式却未必存在。

至于ƒ(x)的(α1，α2，…，αn)阶埃尔米特插值多项式Hn(x)对ƒ(x)的逼近，如果ƒ(x)在[α，b]上有m阶导数，则在[α，b]中有与x有关的点ξ使得

，

式中。