关于不变子空间问题介绍

[拼音]：bubian zikongjian wenti

[外文]：invariant subspace problem

线性算子理论中的一个著名问题。40多年来，人们一直在努力追求其答案，做了大量工作，取得不少成果，但离问题的解决，现在看来还相当远。

设T是复巴拿赫空间Χ上有界线性算子，M是Χ的闭线性子空间(见巴拿赫空间)，如果TM嶅M，称M是T的不变（闭线性）子空间。当M仅含零元素 {0}或者是全空间Χ时，M不仅是Χ的闭线性子空间，而且是一切有界线性算子T的不变子空间。称{0}和X是平凡不变子空间。所谓不变子空间问题是:对任何维数不小于2的复巴拿赫空间上的有界线性算子，是否必存在非平凡的不变子空间。

当Χ是有限维空间时，任何线性算子T都有一个若尔当标准型，它不仅表明T有非平凡的不变子空间，而且还完全刻画了算子的内部结构。当Χ是不可分空间时，易知任何有界线性算子必有非平凡不变子空间。因此，不变子空间问题实质上只限于可分的无限维空间上。

如果不变子空间问题的回答是肯定的，则由佐恩引理易知，对任意有界线性算子，存在一个极大的不变子空间链。这将把有限维空间上的线性算子的若尔当标准型推广到巴拿赫空间上去的工作推进了一步。因此，不变子空间问题是在算子理论中占有重要地位的一个基本问题。下面是有关不变子空间问题的主要结果。

与有限维空间上算子相接近的一类算子是紧算子。J.冯·诺伊曼在1930年证明：对于希尔伯特空间上任意有界紧算子，存在非平凡不变子空间。这项工作当时没有发表。1954年，N.阿龙扎扬和K.T.史密斯用有限秩算子逼近的方法证明了：对于巴拿赫空间上任何有界紧算子，存在非平凡不变子空间。1973年，Β.И.罗蒙诺索夫利用绍德尔不动点原理证明了，如果A是巴拿赫空间上与某非零紧算子可交换的算子，则存在A的非平凡的不变子空间。有趣的是，与紧性相联系的这些结果，证明都不很难。1977年，有人不用绍德尔不动点原理，以很简单的、初等的方法，再次证明了上述结论。后来，人们又进一步证明了，如果B是巴拿赫空间上的非零紧算子，则一切使AB-BA为一秩算子的算子A，有非平凡的不变子空间；从而推广了罗蒙诺索夫的结果。

基于对正常算子的了解，人们考察了与正常算子相近的算子的不变子空间问题。30多年来，这方面的研究取得了重大进展，其中的方法，对研究希尔伯特空间上有界线性算子有很重要的意义。1949年，A.博灵深入地研究了单位圆周上的哈代空间H2（见Hp空间）上的乘法算子U+：U+ƒ(z)=zƒ(z)。关于U+的不变子空间问题，有称为博灵定理的如下结果：算子U+没有非平凡的约化子空间，M是U+的不变子空间的充要条件是M=φH2，这里φ是H2中几乎处处等于 1的函数。

1978年W.S.布朗借助于函数演算的方法证明：次正常算子(即正常算子在不变子空间上的限制)皆有非平凡的不变子空间。他的证明方法很快被人们用来证明各种类型的不变子空间存在定理。上面的结果可以推广到希尔伯特空间上有界线性算子A。如果对一切极点在算子A的谱σ(A)外的有理函数ƒ，成立‖ƒ(A)‖≤max｛|ƒ(z)|｜z∈σ(A)｝，那末A有非平凡的不变子空间。近年来有人较大地简化了布朗结果的证明。

参考书目

1. H.Radjavi and P.Rosenthal，Invariant Subspaces，Springer-Verlag， Berlin，1973.
2. 夏道行等编著：《实变函数与泛函分析》，下册，人民教育出版社，1979。
3. W.S.Brown，Integral Equtions ɑnd Operator Theory，Vol.1，1978.