关于算图介绍

[拼音]：suantu

[外文]：nomogram

又称诺模图，系指根据一定函数关系式由若干有刻度的线条所构成的特定图形，可用来进行计算。例如，根据指数函数关系式ω＝uυ可制出算图如图1。

若变元u、υ的值已知，则在图中u，υ轴上定两点，作一直线，即能求得未知变元ω 的值。由于算式的函数关系都隐含于算图的线条和刻度之中，而图上只显出各变元的数值，因此计算 *** 作极为方便，不要求使用者先经任何训练或具备其他用具。计算精度虽受图形限制，只达有效数字三位上下，但一般已可满足实际需要。在科学技术各部门，算图都有广泛应用。

算图分为贯线算图和网络算图两类。

又名列线图。它的基本要求为三点共线。设三点及其坐标为p1(x1，y1)、p2(x2，y2)、p3(x3，y3)，则p1、p2、p3共线的充要条件为

。 (1)

给定函数式

F(u，υ，ω)=0， (2)

设此式可化为

， (3)

将(1)与(3)对照，可得

； (4)； (5)。 (6)

在(4)中，以变元u作为参数，可得出点p1(x1，y1)的轨迹，称为u尺度（简称u尺），(4)称为u尺的尺度方程。同样，(5)、(6)分别为υ尺、ω尺的尺度方程。用此三组尺度方程即可绘制u、υ、ω三尺度，构成贯线算图。

图1的绘制方法是将原有算式ω＝uυ化为 故。为使此算式化为行列式，试引入辅助参数s、t，使s=logu，t=logω，并代入上式而得三联立式关于s、t、1的齐次线性方程组

。

由于此齐次方程组有非零解，所以得

，

再把D化为(3)的形式，可得

。

行列式D称初始行列式；Ds称标准行列式。二者都可还原为算式F(u，υ，ω)＝0。

从(4)、(5)、(6)可得关于ω＝uυ算图的三组尺度方程：

u尺 x1=0，y1=logu（u尺在y轴上，用对数刻度）；

υ尺

ω尺 x3=1，y3=-logω (ω尺平行y轴， 距y轴单位长，用反向对数刻度)。

若三元函数F(u，υ，ω)=0取函数乘法关系ƒ3(ω)的形式（缩记为ƒ1ƒ2＝ƒ3），可得D及Ds为

由此可得u、υ、ω 三元的尺度方程，而三尺度全为直线，u尺平行于ω 尺，并均与υ尺斜交，故这种贯线算图称为Z形算图。

若三元算式取函数加法即的形式，依上法可得D及Ds为

例如，对于算式

(7)

在(7)中，因x1、x2、x3三坐标各为常数0、1、1/2，故α、b)、с三尺均平行于y 轴。α尺、b)尺为平方刻度， с尺相似而缩半(图3

)。此种算图由三平行尺度构成，故称为三平算图，在算图中应用最广。例如，对算式ƒ1ƒ2＝ƒ3，经取对数后，可化成logƒ1+logƒ2=logƒ3。又如，uυ＝ω 也可用重对数化成loglogu+logυ=loglogω，从而都可以作出三平算图。

有的三元算式 F(u，υ，ω)＝0中有两个含某一变元的不同函数，一般形式为：

式中含ω 的有ƒ3、g3两个函数。仿前可得

例如对于二次方程x2+px+q=0，ƒ1为q，ƒ2为p，ƒ3为x，g3为x2，故可得

p尺与q尺为二平行尺度，用等分刻度。x为二次曲线尺度(双曲线)。在此，一贯线与x尺可有两交点，它们对应于x的两个实根；若不相交，则无实根。这种图称为平曲算图（图4）。

并非一切三元算式F(u，υ，ω)＝0都可作出相应的贯线算图。对于特定的算式F=0是否可能作出贯线算图，其关键在于从F=0推导出行列式D及Ds，以求得u、υ、ω三尺的尺度方程。除此法以外，亦可不用行列式，只将F＝0按其类型，诸如ƒ1+ƒ2=ƒ3，ƒ1ƒ2=ƒ3，ƒ1+ƒ2ƒ3+g3=0等各种形式，选定三平算图，Z形算图、平曲算图等贯线算图格式，然后作出尺度方程。后一方法易为初学者掌握。

它的基本要求是三线共点。同贯线算图的三点共线形成几何学的对偶关系。对于给定算式F(u，υ，ω)＝0，网络算图的适用范围比贯线算图更为广泛，但其使用和制作比贯线算图困难，精度也低。因此，网络算图只成为算图中次要类型，或与主要类型贯线算图配合使用。

下面以二次方程 t2+pt+q=0为例绘制网络算图。在此，算式F(p，q，t)＝0，用直角坐标，使p=x， q=y而形成p族直线和q族直线（即纵横坐标网）。当t取0，±1，±2等值，可得q=0， ±p+q+1=0， ±2p+q+4=0 等直线，形成t族直线。当p、q取定值，此p线和q线交点所经过的t线有两条，即可以读出所求t的两根（图5

）。

除三元算式以外，四元算式以及五元以上的算式，也都可作出算图。对于四元算式F(u，υ，ω ，t)＝0，在一定条件下可引入过渡变元R，将原式分解为两个三元函数：

F1(u，υ，R)＝0， F2(ω ，t，R)＝0。

如算式

可化为

作出两个Z形贯线图（图6

）。R尺为两算图的共同尺度，其上不用刻度点，只使第一贯线的交点决定第二贯线即可。这样，

sin B＝b) sin A/α

或

b)＝α sin B/sin A

的值可以读出。

上述四元算式的分解法是由两组贯线算图利用共同尺度复合而成，故称为复合算图。也可由贯线算图与网络算图相结合或两网络算图相结合，甚至用三组复合算图来处理更复杂的多元算式。