关于群介绍

[拼音]：qun

[外文]：groups

只具有一个运算的抽象代数结构。数学中重要的概念之一。研究群的性质的理论称为群论。它是抽象代数学的重要组成部分。

设有一个由任意元素α，b，с，…组成的非空集合G，在G上有一个二元运算·使G中任意两个元素α、b依照次序联结起来的结果α·b，仍是G中一个完全确定的元素，并满足下列三个条件即所谓群的公理，则G对于运算·称为群：

G1 结合律成立。若 α、b、с是G中任意三个元素，则

(α·b)·c＝α·(b·c)

G2 单位元素存在。在G中有一元素e使得对G中任意元素α都有e·α=α·e=α。其中e称为G的单位元素，有时用1表e。

G3 逆元素存在。对G 中任意元素α，都有G 中一个元素α┡使得α┡·α=α·α┡=e。其中α┡称为α的逆元素，常用α-1表α┡。

通常称G上的二元运算·为“乘法”，称α·b为α与b的积，并简写为αb。

若群G对乘法还适合交换律，即对G中任意两个元素α、b都有αb=bα，则G称为交换群或阿贝尔群。此时通常将运算·改作+，并相应地改称“乘法”、“积”、“单位元素e”、“逆元素α-1”为“加法”、“和”、“零元素0”、“负元素－α”。

由结合律可知，对群G中任意三元素α、b、с，有唯一确定的元素αbс。

由归纳法可证，对G中任意n个元素α1，α2，…，αn也有惟一确定的 α1α2…αn，即只要这n个元素的次序不改变，不论在它们中间怎样添加括号，结果都一样。这就是所谓广义结合律。由此很容易知道，。在G为交换群时，α1α2…αn之值与α1，α2，…，αn的次序无关。

设n为任意正整数，α为群G中任意元素，定义

于是，对任意整数m、n有。当m为整数时，用〈α〉表示所有αm的集合，则〈α〉也是一群。特别，若G中有一元素α使〈α〉=G，则G称为循环群。

若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

（1）全体整数的集合对于通常的加法"+"是一个群，而且是交换群，此时单位元素就是数0，而α的逆元素就是-α。全体有理数、全体实数、全体复数，对于加法也都是交换群。全体偶数、全体、 (α、b)为任意整数或有理数，全体α+bi（α、b)为任意整数， 有理数，实数，对于加法也都是交换群。

（2）全体非零的有理数、实数、复数，对于通常的乘法都是交换群。全体正有理数、正实数对乘法也都是交换群。全体非零的(α、b)为任意不同时为零的有理数)，α+b)i(α、b)为任意不同时为零的有理数或实数，对乘法也都是交换群。全体非零整数对乘法不是群。

全体有理数、全体实数、全体复数、全体(α、b)为任意有理数、全体α+biα、b为任意有理数或实数等集合，对加法和（除0元素外）对乘法都构成交换群，且乘法对加法有分配律，它们又都被称为数域。

（3）对于任意一个正三角形ΔABC，不改变它在空间所占位置的刚体运动恰有六个：绕它的中心(对称心)角度为0°、120°、240°的三个旋转（角度为0°、360°的旋转都看成不动）

以及从每个顶点到其对边中点的连结线为对称轴的三个反射。这六个运动对于相继实施的运算构成一个群，但不是交换群。对于任意正n(n≥3)边形，都可得到相应的群。对于空间五个正多面体，也可考虑相应的群，恰有三个不同的群（见多面体群）。

（4）任给三个文字1，2，3。考虑把它们重新排列为α，b)，с的置换，记为，共有3!＝6个置换，即

把先作一个置换再作一个置换称为乘法运算，则这六个置换对这种乘法是一个群，但不是交换群。一般地，对于任意n个文字1，2，…，n，共n!个置换，组成一个群，称为n个文字的对称群Sn。Sn中的一部分置换对于乘法也可能构成群，如，这些都称为置换群。

（5）考虑所有 n阶复数矩阵的集合S，即考虑所有的A=(αij)，αij为复数，i，j=1，2，…，n。S中两个矩阵的乘积仍是S中一个矩阵，但S对于乘法不是群。S中所有行列式不为零的矩阵（即可逆矩阵）对于乘法组成群，称为复数域C上一般线性群，记作GL(n， C)， 当n>1时它不是交换群。S中所有行列式为1的矩阵对于乘法也组成群，称为C上特殊线性群SL(n，C)。若只考虑实数域R上的矩阵，则有群GL(n，R)，SL(n，R)。（见典型群）

考虑欧几里得平面，其点用坐标(x，y)表示。下列变换将点(x，y)变换到点，式中x，x┡，y，y┡为任意实数，α，b，с，d，e，ƒ皆为实数且行列式。这些变换对于相继实施的运算构成一群，将平面中的直线仍变成平面中的直线，称为平面的仿射变换群。保持原点(0，0)不变的那些线性变换，即e=ƒ=0，且，也成群，实质上就是GL(2，R)。对于一般n维欧几里得空间，也可作同样考虑。

物体的形状往往具有这样那样的“对称性”，对于这些“对称性”的研究常常可以使得人们加深对于物体的某些性质的认识。其中就孕育着“群”的概念，例如保留下来的中国敦煌壁画中的“边饰”、“项光”、“藻井”，以及其他文明古国的早期建筑和物品，都有很多带“对称性”的图像；又如上述例子中③的欧几里得平面上的正多边形和欧几里得空间中的五个正多面体都是在平面或空间的某些旋转或翻转（反射）之下保持所占位置不变的，从而显示“对称性”。在自然界中，矿物结晶体也显示出“对称性”。但是直到18、19世纪之交，才逐渐产生和形成数学中“群”的概念。

最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时，经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。

在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类，即，其中α、b)、с为整数，x、y 取整数值，且D＝b)2-αс为固定值，对于两个型的“复合”乘法，构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。

在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱在对 “自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。在1870年前后，M.S.李开始研究连续变换群即解析变换李群，用来阐明微分方程的解，并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。

A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，E.V.亨廷顿，E.H.莫尔，L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致。

在1896～1911年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版，颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在20世纪初，也有专著，如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来，有限群论取得了巨大的进展，1981年初，有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展。

时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群（只满足G1）和幺半群（只满足G1和G2）理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。

由于在群的定义中元素和运算都是一般的，所注意的只是两个元素经过运算与它们的积元素联系起来的关系，因此如果有两个不同的元素集合和各自的运算，但是这两个集合各自的两个元素，经过各自的运算与各自的积元素联系起来的关系却一样，那么这两个群就可看成是相同的，这就是群的同构概念。设群G的元素与群G的元素是一一对应的，即有一个映射α使G的每一个元素α对应于G的一个确定的元素α即αα，而G中的每一个元素又是G的一个惟一确定的元素α的对应元素α即αα，又设G中α、b分别对应于G中α=αα，b)=b)α时，G中α、b)之积αb)就对应于G中α、b之积αb，也就是说，G中两个元素之积与G中对应元素之积相对应，即(αb)=αb或(αb)α=(αα)(b)α)，则说G同构于G，记为G≌G。若G同构于G，则G的单位元素对应于G的单位元素，G的元素α的逆元素α-1对应于G的对应元素α的逆元素(α)-1，即。同构关系是一个等价关系，因此所有的群可以依照同构关系分类。例如，全体正实数对乘法的群G和全体实数对加法的群G是同构的，因为正实数α与其自然对数lnα是一一对应的，且ln(αb)=lnα+lnb，映射α→lnα表明G对乘法与G对加法同构。又如，上述例子中，③的正三角形的运动群与④的三个文字的对称群是同构的。

一般地，考虑由一个非空集合S到S本身的一一对应。对S上两个一一对应α、β的乘积αβ定义为α(αβ)=(αα)β，式中α为S的元素。容易证明S的所有一一对应对于此种乘法满足结合律，即任意三个一一对应α、β、γ满足(αβ)γ=α(βγ)、恒等对应I:αI＝α是此种乘法的单位元素。若映射 α→αα=b是S的一一对应，则b)→α定义逆对应α-1，使αα-1=α-1α=I。因此，任一非空集合S的所有的一一对应对于上述乘法构成一个群。若S也是一个群G，则G的任意一个一一对应α，且对G中任意α、b满足条件(αb))α＝(αα)(bα)的就是G到G自己的一个同构映射，称为G的一个自同构。群G的所有自同构组成一群，称为G的自同构群A(G)。

若一个群G的元素集合的一个非空子集合H，对于群G的运算，也是群，则H称为G的一个子群，记作H ≤G。若α是G中任意给定元素，则H中所有的元素h给出的元素αh的集合，用αH表示，称为G对H的一个左陪集。两个左陪集αH和b)H或者有完全相同的元素或者没有任何公共元素，这由α-1b是否为H中的元素而定。因此G的元素集合可以看成一些不相交的H的左陪集的并集，即G=H∪αH∪b)H∪…。这些左陪集的个数称为H对G的指数，记作｜G:H｜，它可以是有限的或无限的。例如取G为所有整数的加法群，H为所有偶数的加法群，则G对H的陪集只有H和1+H（所有奇数的集合），因此｜G:H｜为2。与左陪集一样，也可定义右陪集Hα。

αH与Hα一般不一定是相同的集合。所有使αH=Hα即αHα-1＝H的G中元素α组成G的子群，称为H在G中的正规化子，记作NG(H)。特别当NG(H)就是G时，即对G中任意元素α都有αH=Hα即αHα-1=H时，H称为G的一个正规子群，记作H揦G。一般，αHα-1不等于H，但也是G 的一个子群，称为H在G中的共轭子群，子群的共轭是一个等价关系。由此可知共有|G:NG(H)|个H的共轭子群，而一个正规子群的共轭子群只是本身一个，因此正规子群又称自共轭子群。对G中任一元素α，映射对G中任意g定义G到G上的一个一一对应，且为G的一个自同构，称为内自同构。一个正规子群就是一个在所有内自同构下不变的子群，因此又称为不变子群。g在映射πα下的像αgα-1称为g的一个共轭元素，也可以说αgα-1与g共轭。元素的共轭也是一个等价关系，因此，G的全体元素可分割为一些没有公共元素的共轭（元素）类。

当H揦G时，αH·bH＝αbH，因此可以在G对H 的左陪集上定义一个乘法，使它们成为一个新群，称为G对H的商群，记作G/H。对于任一群G和另外一群G*，若有一个G到G上的映射α:g→g＝gα，即对G中任意g都有G中确定的元素g=gα，而且对G中任意元素g都有G中一个元素g把它作为像即有g=gα;对应元素的积也对应即，则称α是G到G上的一个同态，记作G～G。此G中单位元素e映到G中单位元素e，G中互逆元素映到G中互逆元素即，而且所有G中映到e的元素构成G的一个正规子群N，称作映射α的核，并有G/N≌G（同态定理）。反之，对群G的任一正规子群K，使G中元素x映射到陪集xK的映射即为GG/K的同态(以K为核)，称为自然同态。由同态定理易证：

（1）若H≤G且K揦G，则HK≤G且有H∩K揦H及HK/K≌H/H∩K。

（2）若K揦G，K≤H≤G，则H/K揦G/K的充分必要条件是H揦G，且这时有G/K/H/K≌G/H。

通过群G的一个映射α，或者通过G的一个商群G/N(N是α的核)，可以从一个角度粗略地研究G。综合群的所有映射或所有的商群也就是所有的正规子群来研究群，是群论中的重要方法。

特别，当G为上述例子⑤中的GL(n，C)的任一子群时，G到G上的同态α称为G的一个（矩阵）表示。通过G的所有（矩阵）表示对G进行研究的理论发展成为群表示论，它是群论的重要组成部分。

若一个群G除G本身和单位子群E＝{e}外，不包括其他的正规子群，则G称为单群。此时G的同态除去平凡同态GE外是同构，单群的研究既是基本的，又是艰深的，并需要新的方法。

G的所有内自同构组成G的自同构群A(G)的一个子群，而且是它的一个正规子群，记作内自同构群I(G)。当且仅当g＝αgα-1（对于G中任意α）时，πα是单位自同构π0，所有这样的α组成G的中心Z(G)，它是交换群。由上所述，可以看出G/Z(G)≌I(G)，又可定义A(G)/I(G)，称为G的外自同构群。特别，若G为交换群，则Z(G)=G，且I(G)={π0}，因此一个交换群的自同构（除单位自同构外）都是外自同构。

上述群G的子群 H在G中的正规化子NG（H），恒有H揦NG（H）。也可考虑G中所有与H中元素h都可交换的元素即xh =hx的集合CG（H），它也是G的一个子群，且CG(H)揦NG(H)。但是不一定有H≤CG(H)，而H≤CG(H)的充分必要条件是H为交换的。特别，CG(G)即G的中心。仿此，可以考虑G中所有与一已给元素α都可交换的元素的集合CG(α)，它也是G的一个子群，且α∈CG(α)。由此可知，G中恰有｜G:G(α)｜个α的共轭元素。

对群G中任二元素α、b定义[α，b]＝α-1b-1αb为α、b的换位子。由于αb=bα[α，b]，故[α，b]=1当且仅当α、b交换，而一般它表明α、b偏离交换的差距。G中所有的换位子的有限乘积的全体组成G的一个子群G┡，称为G的换位子群或导群。G┡的元素并不一定都是G 的换位子。G┡是G的正规子群，即在G的所有内自同构的作用下不变，而且G┡在G的所有自同构的作用下不变，这样的子群称为特征子群，记作G┡charG。G/G┡是交换群，而且如有K揦G使G/K为交换，则G┡≤K，亦即G┡是使G的商群G/K为交换的G中正规子群K中最小的。若N揦G，则N┡揦G，即G中任一正规子群 N的换位子群N┡仍在G中正规。对群G，作G┡后，可归纳地定义G″＝(G┡)┡，…， Gi=(Gi-1)┡，对任意正整数i。若在所作的G的这个正规子群列中含有单位子群，则G称为可解群。例如n个文字的对称群Sn，当n=3、4时为可解群，而在n≥5时则不是。换位子群与前面讨论过的中心，在有限群和拓扑群的研究中都是重要的。

从一些已知的群出发可以造出新的群来，直积就是这样一种重要的造法，它也可能把较复杂的群归结到较简单的群。设G1和G2为群，有各自的乘法和单位元素e1和e2。考虑所有的有序对 (g1，g2)、(g姈，g娦)、…的集合G，g1、g姈在G1中，g2、g娦在G2中，并把两个分量元素各自的乘法合起来作为G的乘法，即。对于这样的乘法，G成为群，称为群G1和G2的直积，记作G=G1×G2，它以e=(e1，e2)为单位元素。G中所有元素(g1，e2)的集合G壒是一个正规子群且同构于G1，其中g1在G1中。同样所有元素(e1，g2)的集合G壗是一个正规子群同构于G2，其中g2在G2中。G=G壒G壗且G壒∩G壗={e}为G 的单位子群。

若G有两个正规子群N1与N2，且G=N1N2，N1∩N2={e}，就说G分解为N1与N2的直积。这时，N1的每个元素和N2的每个元素都是可以交换相乘的，因为由n1∈N1，n2∈N2即得或n1n2=n2n1。而且G的每个元素可以惟一地表成N1的一个元素与N2的一个元素的乘积。

一般地，设r为任意正整数，G1，G2，…，Gr为r个群，则所有的 (g1，g2，…，gr)对于由各个分量的乘法合成的乘法，即组成G1，G2，…，Gr 的直积 ， 其中Gj，i=1，2，…，r。G包含正规子群G壜(即当j≠i时gj等于Gj的单位元素ej的全体元素所组成)同构于Gj，且。甚至对于可数无穷多个Gj，(i=1，2，…)，也可以这样来定义Gj(i=1，2，…)的直积。这时Gj(i=1，2，…)的直积则指所有那些(g1，g2，…，gr，…)元素的集合，每个元素只对有限个i，gj不是Gj的单位元素。例如，设G为所有行列式取正值的n阶实数矩阵的乘法群，N1为G中所有行列式取1的矩阵的子群，则N1揦G，N2为G中所有数量矩阵λI的子群，则N2揦G，其中λ为正实数，I为n阶单位矩阵，则G＝N1·N2，且N1∩N2={e}，即G分解为N1与N2的直积。

参考文章

• 如何监测猪群健康猪
• 鹤立鸡群成语接龙成语接龙
• 什科茨扬溶洞群建筑与名胜
• 巴西大西洋群岛：费尔南多－迪诺罗尼亚岛和罗卡斯岛保护区建筑与名胜
• 赫德岛和麦克唐纳群岛建筑与名胜
• 加拉帕戈斯群岛建筑与名胜
• 索科特拉群岛建筑与名胜
• 澳大利亚哺乳动物化石地点群建筑与名胜
• 高海岸∕瓦尔肯群岛建筑与名胜
• 新西兰次南极区群岛建筑与名胜