关于晶体物理性能的对称性介绍

[拼音]：jingti wuli xingneng de duichenxing

[外文]：symmetry of physical properties of crystals

从宏观角度描述各向异性晶体的物理性能，并研究晶体的对称性和晶体点阵对称性之间的关系，简化有关的物理方程，是一种唯象的处理方法。早在19世纪就已经系统地和完整地建立起来。尔后，20世纪磁对称点群理论和不可逆过程中的昂萨格原理的建立，又将这种方法从空间对称变换扩展到时间反演对称的领域。近年来，非线性光学和高阶耦合的物理效应的广泛研究和应用，更使这个方法成为固体物理各领域中重要的基本方法。

各向异性晶体物理性能的数学描述的手段是张量。晶体的物理性能通常用可测量的物理量之间的关系加以定义。譬如联系电流密度j 和电场强度E 的晶体电导率；联系应力X和极化强度P 的压电系数，就用下述两个物理方程加以定义：

(1)

(2)

式中σij，dijk分别是电导率和压电系数。可测量的物理量可以是标量、矢量或张量。这些物理方程反映某个客观的物理效应，应与所选参考坐标系无关，在任意正交变换下，该方程均应成立。设aij是正交变换的矩阵元，则物性参量σ及d 在新老坐标系中必有如下关系：

(3)

(4)

它们分别是二阶和三阶张量。因此说物性参量由若干分量所组成，具有张量的性质。如果某个物性参量具有3n个分量τijk…s构成一个整体τ，并有如下变换规律：

(5)

ailajm…共n个，则τ称为n阶物性张量，从这个普遍定义来说，标量即为零阶张量，矢量即为一阶张量。

显而易见，物性张量的阶数就等于物理方程中可测量物理量张量的总阶数。

应该指出，常见的物理量矢量有两类。一类是真正的矢量（如电场强度、电位移强度、电极化强度、波矢等），它们严格遵循通常的变换规律 ，称为极矢量。另一类是赝矢量（如磁场强度、磁感应强度、磁化强度、动量矩等），形式上为矢量，其实是反对称的二阶张量，称为轴矢量。其变换公式为，式中|aij|为正交变换矩阵的行列式，在纯转动时为1，中心反演或转动－反演时为-1。根据物理方程即可看出所定义的物性张量某些下角标可能是轴性的。凡是有偶数(包括零)个轴性角标的张量为极性张量，遵循通常的变换公式(5);凡有奇数个轴性角标的则称为轴性张量，其变换公式应在式(5)中乘以－1。

当然，还有很多物理性能并不能直接用张量来表达，例如晶体的解理强度、屈服强度、介电击穿强度、声速、光折射率以及许多晶体的表面性质等，尽管它们都表现为各向异性，但其自身并不具有张量性质。这些性能最终可以与某项物性张量的诸分量存在复杂的关系。

晶体是物理过程借以进行的场所，如果将该晶体所属点群中任一对称 *** 作施于坐标系，变换前后，物理性能的具体描述形式应该毫无差别，这就导致晶体对称性对物理性能的制约，这一基本原则反映在诺埃曼原理中。这个原理说：“物理性能的对称性应该包括晶体所属点群的所有对称元素。”应该指出，这里仅仅说的是包括，绝无两者对称性完全相同的意思，而事实上，晶体物理性能的对称性往往高于且包含晶体的对称性。这种对称性的制约会导致物性张量的非零独立分量的个数减少。不同晶体点群，不同的物理效应，相应物性张量的非零独立分量的个数和分布有所不同。

应用诺埃曼原理，考察晶体对称性对物理性能的影响，可举出几个简单而重要的结果。

（1）三阶极性张量所描述的物理效应（例如压电效应），在有中心对称的晶类中，没有非零的分量。换句话说，只有非中心对称的晶类才可能有这种物理效应。由于磁光效应（即法拉第效应）中磁光系数是轴性三阶张量，所以不仅可以存在于有中心对称的晶类甚至存在于对称性极高的某些立方晶类中。

（2）一阶极性张量描述的物理效应〔例如热（释）电效应〕，在没有对称中心的晶类中，只有那些仅有一个对称轴（一次轴不计在内）且又无其他对称元素使这个轴倒反的10种晶类，才能保证有非零的分量，这类晶体称为热电类晶体（见热电性）。热磁效应的热磁系数是轴性一阶张量，所以热磁效应除10种热（释）电类晶体外，还可以存在于其他许多晶类中。

（3）二阶极性张量和四阶极性张量所描述的物理性能本身一定具有对称中心，与晶体点群是否含有对称中心无关。所以磁化、电极化、导电、导热以及d性形变、高次电光效应、d光效应、电致伸缩等效应普遍存在于一切晶类中。当然，对于轴性的二阶、四阶张量则有迥然不同的表现。

物理效应除反映晶体的点群对称性之外，本身还具有另一种对称性，这种对称性来源于物理方程中所引入的物理量的特性，或者来源于物理过程本身的热力学特性，它们和晶体结构的点群对称性没有关系。这种对称性使张量的某些下角标有互易的对称，进一步大大减少了独立分量的数目。这种对称性大致可分三种情况。

（1）在可逆变化的物理效应中，必定存在以可测量物理量为自变量的热力学态函数，导致某些下角标有互易对称。例如介电极化过程中有自由能的变化: 所以介电张量必有kij＝kij。又如d性劲度系数(四阶张量)Cij，kl中两对角标(ij)和(kl)作为整体可以互换，非线性极化系数ⅹijk，在可以忽略离子位移极化的条件下，有所谓克莱曼对称性，即i、j、k三角标可以任意对易，都出于同样的原因。

（2）L.昂萨格和H.B. G.卡西米尔从不可逆过程热力学和微观时间可逆性原理出发，在最普遍的基础上，证明了电导、扩散、热导等一切输运系数张量具有下述对称性，即昂萨格倒易关系

Lij＝Lij（无磁场时），

Lij(-B)＝Lij(B)（有磁场时）。

（3） 物理方程中某些物理量如应力Xij、应变eij等本身是对称的二阶张量，因此与之对应的物性张量的两个角标自然也是对称的。

上述种种原因所造成的对称性，必须具体分析其物理过程方能得到，各种物性张量的角标对称可在所列参考书中找到。

物理量中的磁场强度、磁化强度、各种动量矩，它们在时间反演下（即t→-t）有倒向的特性。在某些晶体结构中，原子往往带有磁矩或其他动量矩，并且它们的指向有一定的有序排列。往往有这种情况，某个空间对称 *** 作，可使原子位置重复，但原子所附磁矩的指向却相反；如再接着施以时间反演，使这个矢量倒向，此时结构完全重复。把这种时-空复合 *** 作包括在内，点群的对称类型要扩展到122种，称为磁点群。对于这种磁性晶体，诺埃曼原理仍旧适用，不过不仅要考察通常的空间对称变换，而且要考察时间反演下物理量的变换行为。

和空间反演的情形相似，根据物理方程中出现时间反演下倒向的物理量个数的奇偶（即时间反演下变号的角标的奇偶），将物性张量分为两类，一类出现奇数次的，在时间反演下变号，称磁张量，另一类出现偶数次的（包括零），时间反演不变的称为非磁张量。同阶数的磁与非磁物性张量，应用诺埃曼原理的结果，两者的非零独立分量的个数和分布会有显著的差异。

综上所述，各向异性的物性问题在通过物理效应的固有对称性和晶体对称性分析的基础上，可以确定物性张量的具体结构（非零张量分量），并且给出物理方程的简化形式，不过不能给出物理效应的强弱。因此，只要给定某种晶体的点群类型，便可方便地判断哪些效应是禁戒的，哪些效应是容许的，以给出物理效应的具体响应方式，这就能提供非常有价值的信息。反过来，根据物理效应的具体响应方式也为确定晶体点群提供一些线索，甚至可根据物理效应响应方式的突变，作为晶体相变的探测手段之一。总之，各向异性晶体物理性能的宏观分析方法，在探索新的、可能的物理效应，寻找具有特定物理效应的新晶体，各种物理相互作用的应用以及有关效应的器件设计，晶体材料分类等方面，特别是涉及高各向异性和高阶物理相互作用有关的固体物理各领域内都发挥着重要的作用。

参考书目

1. H.J. Juretschke，Crystal Physics(Macroscopic Physics of Anisotropic Solids)，W.A. Benjamin， Reading， Mass.，1974.
2. J. F. Nye，Physical Properties of Crystals， Clarendon Press， Oxford，1957.