什么是d性力学?

[拼音]：tanxing lixue

[外文]：elasticity

也称d性理论，主要研究d性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，d性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而d性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的d性体。

d性力学的发展大体分为四个时期。

（1）发展初期的工作是通过实践，探索d性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的d性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。

（2）第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在A.-L.柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了d性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为d性力学奠定了理论基础。

（3）第三个时期是线性各向同性d性力学大发展时期。这个时期的主要特点是d性力学被广泛应用于工程问题，同时在理论方面建立了许多重要的定理和原理，并提出了许多有效的计算方法。这个时期从A.J.C.B.de圣维南于1855～1856年间发表关于柱体的扭转和弯曲的论文后开始，开辟了一条用半物理半数学的方法解d性力学基本方程的途径。接着G.B.艾里解决了平面应力问题，H.R.赫兹解决了接触问题，G.基尔施解决了孔边应力集中问题，等等。这些成就的取得，使d性力学得到工程界的重视。在这个时期中，d性力学的一般理论也有了很大的发展。在d性力学基本方程建立后不久，建立了d性力学的虚功原理和最小势能原理。1872年E.贝蒂建立了互换定理。1879年A.卡斯蒂利亚诺建立了余能原理。由于这些能量原理的建立，使基于这些原理的近似计算（如瑞利－里兹法和伽辽金法）也得到了发展。

（4）从20世纪20年代起，d性力学进入第四个时期，各向异性和非均匀体的d性力学、非线性d性力学、热d性力学等都有了重大发展。另外，还出现了许多边缘分支，如研究固体与气体（或液体）共同作用的气动d性力学以及粘d性力学等。这些领域的发展，促进了有关工程技术的发展。

在各向同性线性d性力学中，为了求得应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即:连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全d性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发，导得d性力学的基本方程和边界条件的表达式。

直角坐标系下的d性力学的基本方程为平衡微分方程：

(1)

几何方程：

(2)

物理方程：

(3)

(1)式中的σx、σy、σz、τyz=τzy、τxz=τzx、τxy=τyx为应力分量，X、Y、Z为单位体积的体力在三个坐标方向的分量；(2)式中的u、v、w为位移矢量的三个分量（简称位移分量），εx、εy、εz、γyz、γxz、γxy为应变分量；(3)式中的E和v分别表示杨氏d性模量和泊松比。

在物体的表面，如已知面力，则边界条件表示为

(4)

这里的 塣、墏、墫表示作用在物体表面的单位面积上的面力矢量的三个分量，l、m、n表示物体表面外法线的三个方向余弦。

如物体表面位移ū、堸、塐已知，则边界条件表示为

u＝ū，v＝堸，w＝塐 (5)

这样就将d性力学问题归结为在给定的边界条件下求解一组偏侮分方程的问题。

式(1)、(2)、(3)中有15个变量，15个方程，在给定了边界条件后，从理论上讲应能求解。但由(2)、(3)式可见，应变分量、应力分量和位移分量之间不是彼此独立的，因此求解d性力学问题通常有两条途径。其一是以位移作为基本变量，归结为在给定的边界条件下求解以位移表示的平衡微分方程，这个方程可以从(1)、(2)、(3)式中消去应变分量和应力分量而得到。其二是以应力作为基本变量，应力分量除了要满足平衡微分方程和静力边界条件外，为保证物体变形的连续性，对应的应变分量还须满足相容方程：

(6)

这组方程由几何方程消去位移分量而得到。对于不少具体问题，上述方程还可以简化。

在d性力学中，为克服求解偏微分方程(或方程组)的困难，通常采用试凑法，即根据物体形状的几何特性和受载情况，去试凑位移分量或应力分量；由d性力学解的唯一性定理，只要所试凑的量满足全部方程和全部边界条件，即为问题的精确解。

从数学观点来看，d性力学方程的定解问题可变为求泛函的极值问题。例如，对于用位移作为基本变量求解的问题，又可以归结为求解变分方程：

δП1＝0 (7)П1是物体的总势能，它是一切满足位移边界条件的位移的泛函。对于稳定平衡状态，精确的位移将使总势能П1取最小值的称为最小势能原理。又如对于用应力作为基本变量求解的问题，可归结为求解变分方程：

δП2＝0 (8)П2为物体的总余能，它是一切满足平衡微分方程和静力边界条件的应力分量的泛函。精确的应力分量将使总余能 П2取最小值的称为最小余能原理。(7)式等价于用位移表示的平衡微分方程和静力边界条件，而(8)式则等价于用应力表示的相容方程。在求问题的近似解时，上述泛函的极值问题又进而变为函数的极值问题，最后归结为求解线性非齐次代数方程组。

还有各种所谓的广义变分原理，其中最一般的是广义势能原理和广义余能原理，它们等价于d性力学的全部基本方程和边界条件。但和总势能П1和总余能П2不同，广义势能和广义余能作为应力分量、应变分量和位移分量的泛函，对于精确解，也只取非极值的驻值。

由于d性力学的基本方程是在d性力学的五条基本假设下通过严密的数学推导得出的，因此d性力学又称为数学d性力学。而板壳力学则属于应用d性力学。因为，它除了引用这五条基本假设外，还对变形和应力的分布作了一些附加假设。从这个意义上讲，材料力学也可纳入应用d性力学。可见，虽然d性力学和材料力学都研究杆状构件，但前者所获得的结果是比较精确的。

参考书目

钱伟长、叶开沅著：《d性力学》，科学出版社，北京，1956。徐芝纶编:《d性力学》，人民教育出版社，北京，1979。胡海昌著：《d性力学的变分原理及其应用》，科学出版社，北京，1982。