什么是矩阵位移法?

[拼音]：juzhen weiyifa

[外文]：matrix displacement method

按位移法的基本原理运用矩阵计算内力和位移的方法。是结构矩阵分析方法中的一种，其基本未知数是结点位移，由于矩阵位移法较矩阵力法更适宜编制通用的计算程序，因而得到了更为广泛的应用。

结构矩阵分析方法首先把结构离散成有限数目的单元，然后再合成为原结构，因而也属于有限元法。矩阵位移法常用的单元形式为一直杆。对于曲杆，如拱结构，虽然也可取曲杆作为单元，但单元分析较烦，为简化起见，可将它化成折线来处理，每一直线段作为一单元。当单元承受非结点荷载时，可用等效结点荷载代替。其方法是将单元间的分界结点作为固端求出固端反力，然后反其向作用在结点上。

根据结构变形后要满足几何方面的相容条件（变形条件），结点位移矩阵


与杆端位移矩阵


之间存在关系式

＝





(1)

式中


表示


对


的变换矩阵。

杆端位移矩阵


与杆端力矩阵


之间的关系式为

＝


m


(2)

式中


m称为未装配结构的刚度矩阵，它等于各单元刚度矩阵


(i) 作为子块的对角矩阵。 其元素可直接按结点单位位移引起的反力而求得。由于单元坐标并不一定是整体结构坐标，因而求得的单元刚度矩阵


(i) 需通过坐标变换转化为整体坐标下的单元刚度矩阵。

根据结点作用力与汇交于该结点的杆端力保持平衡关系，可以得到杆端力


与结点作用力


的关系式为

＝





(3)

式中


为杆端力矩阵


对结点作用力矩阵


的变换矩阵。根据虚功原理，可得


＝


T。

根据上面三式，可以得到

＝K


(4)

K＝


T


m


(5)

式(5)K称为已装配结构的刚度矩阵或整体刚度矩阵。

通过式(5)获得总刚度矩阵K的方法称为刚度法。因为位移变换矩阵


的阶数相当高，运算中须占大量的存贮单元，因而在组合整体刚度矩阵时，常采用直接把单元刚度矩阵的元素输送到K中的直接刚度法，该方法是将各单元中相同脚标的元素直接相加而组成整体刚度矩阵。在单元刚度矩阵中，对于近端结点刚度矩阵系数kjj，由于汇集于该结点j的所有单元都可作出贡献，因而在整体刚度矩阵中可有若干项相加，即


，


为汇集于j结点的所有单元。由于它不必通过式(5)进行计算，运算方便，因此其应用比刚度法更为广泛。

由于支座约束方向的结点位移通常为零或为已知值，因而可将全部结点位移


分为两部分，一部分是不受支座约束的位移


r，另一为沿支座约束方向的结点位移


R。由此(4)式变成

展开上式得

(7)

(8)

当


R＝0时(7)式变成:

r=Kr


r (7′)

式中Kr 为已装配结构相应不受支座约束的位移的刚度矩阵，实际上即为一般位移法基本方程中的系数矩阵K，该矩阵亦可直接按柔度矩阵求逆而得到。而


r即为一般位移法基本方程的自由项矩阵


(一般位移法中，K与


在方程同一边，因而


r与


差一符号)。因而(7′)式即为位移法基本方程的矩阵表达式。

根据(7)或(7′)式即可求出


r。再由(1)、(2)式即可求得杆端力


，实际杆端力


a应再叠加单元上非结点荷载引起的固端力


f。第i单元的实际杆端力应为

a(i)＝


(i)


(i)+


f(i) (9)

矩阵位移法计算杆端力的步骤为：

（1）划分单元，求出等效结点荷载；

（2）求单元刚度矩阵


(i)，并转换为整体坐标的单元刚度矩阵；

（3）由(5)式或直接刚度法求出整体刚度矩阵K；

（4）求出Kr和


r；

（5）由(7′)式求出结点位移


r，再由(1)、(2)式求出杆端力


，实际杆端力应再叠加


f， 即由(9)式确定。