关于矩介绍

[拼音]：ju

[外文]：moment

描述随机变量概率分布的宏观特性的一类常用的量。设X为一随机变量，F(x)是它的分布函数。对于任一正整数k，xk的数学期望EXk称为X 的k阶原点矩，它可以由如下的斯蒂尔杰斯积分表示和计算：

。

一阶原点矩就是数学期望EX。E(X-EX)k称为X的k阶中心矩，同样可以表为

。

一阶中心矩永远等于零，二阶中心矩就是方差 varX ＝E(X-EX)2。

此外，对于任何正实数r，还可以定义X的r阶原点绝对矩和r阶中心绝对矩。

概率论中矩的概念与力学中矩的概念是类似的，如果将概率分布类比于物体的质量分布，则数学期望相当于重心，二阶矩相当于转动惯量，等等。由于各种矩在描述和确定概率分布时常起重要作用，因而它们在概率论与数理统计中有广泛运用。

设X与Y是两个随机变量，F(x，y)是它们的联合分布函数，则对于任何正整数k，Л，还可以定义X与Y的k+Л阶混合原点矩EXkYl和k+Л阶混合中心矩。其中最常用的是二阶混合中心矩，称之为X与Y的协方差，记作 cov(X，Y)，它又等于EXY-(EX)(EY)，且有如下的积分表达式：

。

协方差用来刻画两个随机变量之间线性联系的程度，为了消除不同量纲的影响，对于方差不为零的随机变量，常用它们的标准差加以标准化，协方差标准化后，记作

，

称为X与Y的相关系数。ρXY的数值在－1与 1之间，而的充分必要条件是：存在三个常数α，b，с，其中α，b不全为零，使线性关系式αX+bY=с以概率 1成立。当ρXY=0时，称X与Y不相关，这时成立EXY=(EX)(EY)，var(X+Y)=varX+varY。当时，X与Y之间的关系是，其中Z为一随机变量，它满足ρYZ=0，EZ=0以及。由此可见，当ρXY≠0时，X与Y之间有某种线性联系；|ρXY|越接近1，这种线性联系的程度越密切。此外，若X与Y独立，则X与Y不相关，但逆之不然。

对于n维随机向量 X=(X1，X2，…，Xn)′，若令，ρij为Xi与Xj的相关系数，则n×n矩阵

，

，

分别称为X的协方差阵(也称方差阵)和相关阵。它们都是非负定的对称矩阵（见矩阵），能刻画X各分量与其数学期望间的平均偏离程度以及各分量之间的线性联系程度。

若Z1，Z2是两个复随机变量，则定义它们的协方差为，它们的相关系数为，其中varZ表示复随机变量的方差。

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