关于样条函数介绍

关于样条函数介绍,第1张

关于样条函数介绍

[拼音]:yangtiao hanshu

[外文]:spline function

一类分段(片)光滑,各段(片)交接处具有一定光滑性的函数,简称样条。样条函数的名称来源于船体放样时用来画光滑曲线的机械样条──d性的细长条。它产生的背景是离散数据的处理。高次多项式插值过程有数值不稳定的缺点,而利用分段低次多项式,在分段处具有一定光滑性的函数插值过程有较好的稳定性和收敛性,这种插值过程产生的函数就是(多项式)样条函数。20世纪60年代中期,它与计算机辅助几何设计相结合,在外形设计(汽车、飞机等)方面得到了成功的应用。同时,样条理论研究亦逐步深入,后被作为函数逼近的有力工具。其应用亦逐渐扩展到各类数据的插值、拟合与平滑、数值微分与积分、微分方程和积分方程的数值解等方面。从1964年起开始研究非多项式样条,样条的概念有了许多扩展。它同其他数学分支,诸如最优控制、多点变分问题、多点边值问题、广义逆算子、统计计算、计算几何、泛函分析以及多点d性平衡问题等有密切联系。

下面是几种常用的样条函数。

三次样条

应用很广的一类样条函数。给定区间[αb]的一个分划若函数S(x)在每一个子区间[xjxj+1](i=0,1,…,k)上是三次多项式,在交接点x1,x2,…,xk处有二阶连续导数,便称它是定义在[αb]上关于分划π的三次(或四阶)样条函数,简称三次样条。x1,x2,…,xk称为样条结点。三次样条函数可表成

式中记号。三次样条的力学模型是d性细梁在结点xj处受强度为 βj的集中力作用而产生的小挠度曲线。三次样条起源于函数插值,是函数逼近的有效工具。 它具有许多最佳性质。 例如, 满足插值条件,的三次样条S(x)存在、惟一且在一切满足上述插值条件的二次连续可微函数类中使取极小。 当ƒC4[αb]时可得到余项估计

式中Cα为与ƒ无关的常数;又如,三次样条还是下述平滑问题的解;设ρ>0为给定权因子,{yi}为给定数据,求SH2[αb],且使

取极小的解。它也是凸集逼近问题:求

使取极小的解。三次样条的上述最佳性质,都可推广到奇次样条。

多项式样条

如果函数S(x)在

上是m-1次多项式,在xj处有直到m-rj-1阶的连续导数,而m-rj阶导数在xj处有跳跃性间断,这里

便称S(x)为以xjrj重结点的m-1次(或m 阶)样条。结点xj的重数不超过rjm-1次样条可表为…+。这种样条的集合作成n=m +r1+…+rk维线性向量空间。

m为偶数的奇次(偶阶)样条,具有三次样条的许多类似的最佳性质。当m=3,r1=r2=…=rk=1时,便得到二次单结点样条,即抛物样条。它是偶次样条的代表,有许多不同于三次样条的性质。用它作插值时,宜用样条结点的中点作插值结点。

多项式样条即分段多项式,能靠增加结点数目或提高结点重数来增加样条空间的维数。它既有低次多项式的简单性,又有相当的光滑性和灵活适应性,还避免了高次多项式插值的不稳定性,是函数逼近的重要工具。

多项式B样条

设为单调不减序列且

将函数关于t以为结点作m阶差商再乘以,得一函数Bj,m(x),称为以…,为结点的mB 样条。它可以形式地看作对δ 函数δ(t-x)关于t积分m次,再对tm阶差商并乘以的结果。它形如山丘,有许多类似δ函数的性质,如局部非零且非负,即当x∈时,Bj,m>0;否则,若在序列中结点xj出现rj次(j=1,2,…,k),又则相应B样条系构成上面定义的[αb)]上m阶多项式样条空间的基底。它说明了B样条名称的由来。B 样条在样条理论和计算中,特别是在构造平滑公式中起着基本的作用。

基样条

以整数或将它们平移1/2的半整数点为样条单结点的m 阶样条,称为m 阶基样条,它对函数插值很有用。基样条可表为 其中为以1为步长的对称差分算子。基样条插值问题S(n)=yn(n=0,±1,…),当为某常数时,其解存在、惟一,且有|S(x)|=O(|x|r)(|x|→∞)。平滑问题

取极小,其中ε为正常数,yn为给定值,其解是2q阶样条。

在 B样条和基样条的基础上还发展了诸如切比雪夫样条、L样条或微分算子样条、指数样条等样条函数。三次样条是在小挠度的假设下得到的,为了处理大挠度问题,常用参数样条。此外,还建立了种种非线性数学模型,发展了诸如圆弧样条和有理样条等,它们在实际应用上也很重要。

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