关于一阶偏微分方程介绍

[拼音]：yijie pianweifen fangcheng

[外文]：first order partial differential equation

最简单的一类偏微分方程。一个未知函数u(x)=u(x1，x2，…， xn)所适合的一组一阶偏微分方程即

， (1)

式中(Rn之开集)，u是实值函数，。适合(1)的函数u称为其解。

单个拟线性方程

(2)

是式(1)的重要特例。解u=u(x)定义了D×R中一个曲面，称为(1)的积分曲面，是其上一点(x，u)处的法线方向数，(α1，α2，…，αn，b))则定义一个方向场，称为特征方向场。式(2)表明积分曲面在其各点上均与该方向场相切。特征方向场的积分曲线，称为(2)的特征曲线。它们是常微分方程组(特征方程)

(3)

的积分曲线。由上所述，可见式(2)的积分曲面是由式(3)的积分曲线织成的。反之，若一曲面u=u(x)是由(3)之积分曲线织成的，则必为式(2)的积分曲面。因此式(3)的讨论对研究偏微分方程(2)有特别的重要意义。

式(2)的定解问题中，最重要的是柯西问题，即在U中给定一个n－1维子流形 у及其上的函数φ(x)，要求式(2)的解u=u(x)满足以下的附加条件（初始条件）：

。 (4)

从几何上看，集是U×R中一个给定的n－1维子流形，而条件(4)即要求积分曲线(它是U×R中的一个n维子流形)通过Γ。

柯西问题的解的局部存在的条件从几何上看是很清楚的：若在(x0， u0)∈Γ附近，则在该点附近特征向量场微分同胚于平行向量场，特征曲线族则微分同胚于平行直线族。如果Γ在(x0，u0)附近横截（即不平行）于该平行直线族，就可以以Γ为底，以该平行直线为“母线”作一“柱面”。它就是所求的积分曲面，亦即柯西问题的解。

对一般的单个一阶非线性偏微分方程

， (5)

则应以代替上述的U×R。对于积分曲面u=u(x)，它在(x，u(x))处的法线方向由所确定，因此(x，u，p)决定了一个过(x，u)的以为法线的超平面，即过该点的积分曲面的切超平面。于是，在U×R中来看，｛(x， u，p)｝给出一个超平面场，每一个这样的超平面称为过（x， u）的接触元素。对于给定的(x， u)，适合方程(5)的p不是惟一的，从而有一个接触元素族。它们的包络是一个以(x， u)为顶点的锥，称为蒙日锥。方程(5)的积分曲面在各点均切于过该点的蒙日锥。

对于拟线性方程(2)，蒙日锥蜕化为过（x，u）的以为方向的轴。

积分曲面既切于蒙日锥，则必沿某一母线切于它。这条母线的方向给出了积分曲面上的一个方向场。对于方程(2)来看，它就是特征方向场。所以在一般的非线性方程(5)，也称它为特征方向场，其积分曲线也称为方程(5)的特征曲线。积分曲面仍由特征曲线织成。

但是，与方程(2)也有所不同，即现在必须在U×R×Rn中来考虑特征方向场，从而可以得到如下的常微分方程组

， (6)

(7)

(8)

解出这个方程组将得到一个特征带，它在U×R中的投影则称为方程(5)的特征曲线。特征带是一个在 U×R×Rn中的概念。

在解柯西问题(4)时，将у写成参数形式

(9)

(10)

然而，以它为初始条件还不能解出特征带的方程组，还需要有pj所适合的初始条件。

对于拟线性方程(2)，以(9)、(10)为初始条件解特征方程组(3)，可得

(11)

(12)

令

若在t=0时，即在у上，Δ|t=0≠0，则可以在|t|充分小时即在у附近由(11)解出为 (x1，x2，…， xn)的函数，代入(12)即得柯西问题的解。

在以上讨论中，条件

(13)

极为重要。它在几何上表示特征线横截于Γ。没有这种横截性，一般说来特征曲线不能织成积分曲面，然而若仍可能有解，那么解称为奇异解。条件(13)称为特征条件。

对于非线性偏微分方程(5)，需要解出特征带的方程组(6)、(7)、(8)。这时需要 pj所适合的初始条件。很容易看到，在t=0时，pj应适合以下条件

， (14)

。 (15)

(14)、(15)共有n个方程，它们称为带条件。为了能从其中解出pj，又需要在t=0时

(16)

在方程(2)的特例下，它就是式(13)。所以式(16)也称为特征条件。

若带条件和特征条件得以满足，就将得出在 t=0时xj、u和pj所适合的初始条件。于是可以得到

， (17)

， (18)

， (19)

利用特征条件，可以从式(17)中解出为(x1，x2，…，xn)的函数，代入式(18)即得u=u(x)为柯西问题的解。代入式(19)得pj=pj(x)，可以证明恰好有。

求解柯西问题(5)、(4)的另一方法，是求(5)的含有n个参数α=( α1， α2，…， αn)的解u=u(x，α)。它称为(5)的完全积分。

将(4)所定义的子流形Γ局部地表为

。

再取α=α(s)使u=u(x，α(s))经过(x(s)，u(s))而且在该点切于Γ，即有

这一族解的包络仍是(5)的积分曲面，而且通过Γ，亦即所求柯西问题的解。于是，将问题归结为求(5)的含n-1个参数s=(s1，s2，…，sn-1)的解u(x，α(s))，它称为(5)的通积分。

若将完全积分对n个α求包络，即由

中消去α，还可得到方程(5)的另一种解，称为奇异积分。

于是问题归结为如何求完全积分。为此考虑一个与之相关的问题：求函数u=u(x)使之满足一组偏微分方程

(20)

因为方程个数超过未知数个数，故(20)称为超定方程组。超定方程组有解，需有一定条件称为可积性条件。对于(20)，可积性条件为

(21)

(Fj， Fj)称为泊松括号。若一个方程组适合(21)，则称之为对合方程组。

方程(5)可以化为不显含u的情形。因为若将u=u(x)写为隐函数v(x，u)=с，而以v为新的未知函数，则(5)成为。若视u为自变量则未知函数v不显现。因此可以限于求解以下形式的方程

(22)

对(22)补充以n-1个新的方程

(23)

式中αj为参数。可以适当取F2，F3，…，Fn使(22)、(23)成为对合方程组。再从(22)、(23)中解出： (其中含常数α2，α3，…，αn)，即可得(5)的含有n个常数的解（即完全积分）

以上方法称为拉格朗日-查皮特方法。

在 U嶅Rn中若给定了一个充分光滑的向量场，则过U之每一点必有其惟一的积分曲线。若给定r(1<r<n)个光滑向量场，则不一定经过每一点都有 r维子流形使得在其各点上均与这些向量场相切（也不一定能找到 n-1维子流形使得在其各点上均与这些向量场相切）。若有这样的 r维子流形存在，就说这些向量场可积，该流形称为其积分流形。

求积分流形发生障碍的几何原因，可由下例看出。设在R3中给出一个平面场（相当于两个向量场），作柱面如图

，则该平面场在柱面上决定一个向量场。若原平面场可积而有积分曲面存在，则积分曲面与柱面相截将给出柱面上的向量场的封闭积分曲线。但是柱面上的向量场不一定有封闭的积分曲面存在。

上述问题稍加改述：求一个超曲面u=u(x)（而不只是r维子流形）与r个向量场相切，即

， (24)

这是一个超定方程组。前述拉格朗日－查皮特方法中已遇到这种问题。

式（24）规定出 r个一阶偏微分算子(亦即向量场)。它们的交换子仍是一阶偏微分算子：

弗罗贝尼乌斯定理指出：超定方程组(24)可积的充分必要条件是存在函数使得满足式(25)的向量场x1，x2，…，xr称为对合的。

一阶偏微分方程的几何理论有悠久的历史渊源，以后经过É.(-J.)嘉当等人的发展，在几何学、力学和物理学中都有重大的意义。