关于不适定问题介绍

[拼音]：bushiding wenti

[外文]：ill-posed problem

在经典的数学物理中，人们只研究适定问题。适定问题是指满足下列三个要求的问题：

（1）解是存在的；

（2）解是惟一的；

（3）解连续依赖于定解条件。这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题。特别，如果条件③不满足，那么就称为阿达马意义下的不适定问题。一般地说不适定问题，常常是指阿达马意义下的不适定问题。

不适定问题的最典型的例子是拉普拉斯方程的柯西问题：

其数据u0(x)和u1(x)作微小的变动，往往使解产生很大的变化。其他的一些不适定问题有：第一种弗雷德霍姆积分方程、反向热导方程的边值问题、波动方程的狄利克雷问题和不少微分方程的反问题，等等。

在一段时间里，人们认为不适定问题不反映任何物理现象，而无研究价值。随着生产和科学技术的发展，各种各样的不适定问题出现在许多领域中，如地球物理、连续介质力学、自动控制、大气物理、全息照相、天体力学、热力学、 电磁学、 热扩散理论、电子聚焦问题等。上述的拉普拉斯方程的柯西问题、波动方程对非空向 (nonspace-like)初始流形的初值问题，在地球物理勘探的资料解释和数据处理中，皆具有重要的应用。

由于这些问题的数据常常是通过测量给出的近似值，问题通常没有精确解。因此，人们就去寻找满足方程但只是近似地适合定解条件的所谓近似解，或近似地满足方程的近似解。当然，这些近似解一般是没有惟一性的，但是若对近似解所在的函数类加以适当的限制，例如紧性的限制，便可以保证近似解对数据的连续依赖性。

在求问题数值解时，须明确在什么度量下对近似解加以紧性限制，使问题变为适定，且切合实际的需要。