关于玻耳兹曼方程数值解法介绍

[拼音]：Bo’erziMan fangcheng shuzhi jiefa

[外文]：numerical method for Boltzmann equations

玻耳兹曼方程是原子物理、天体物理等领域中的描写粒子(中子、质子、光子等)运动的基本微分－积分方程。假定粒子在两次碰撞之间作等速直线运动，而在穿过介质的过程中按照一定的概率与其他粒子相碰撞，从而发生偏斜、慢化、被吸收或增殖等现象。由于粒子是大量的，因此可以忽略统计起伏，把它们看成是连续体。求解玻耳兹曼方程，就是要求出在任一时刻，具有不同速度的粒子在空间的分布。玻耳兹曼方程数值解法很多，其中以解描述中子输运问题的玻耳兹曼方程的数值方法较为典型。

描述非定常中子输运过程的玻耳兹曼方程为：

， (1)

式中t为时间；r、v分别为中子的位置和速度向量，v＝vΩ，Ω为中子速度方向的单位向量；φ(r，v，t)为中子角通量分布；σ(v，r)表示在点r处速度为v的中子的宏观总截面，σ┡=σ(v┡，r);ƒ(v┡→v;r)dv是在r处中子速度由v┡转移到v与v+dv之间的总概率；是独立中子源。对于单速各向同性散射一维球对称问题，非定常中子输运方程为

式中r为径向坐标;μ＝cosθ，θ为向径和速度向量间的夹角；σ(r)为总截面；β(r)=σ(r)с(r)，с(r)为在r处每次碰撞所产生的平均次级中子数。方程(2)的定解条件为

。

20世纪40年代发展了用于解定常问题的两类主要解法。

（1）球谐函数法 它把φ和按勒让德多项式PN(μ)(球谐函数）展开，例如，令

利用勒让德多项式的性质，把方程简化，再取展式的前N+1项，得φ0，φ1，…，φN的N+1个方程的联立方程组，然后用差分法求数值解。该法又称为PN近似法。

（2）威克－昌德拉塞卡离散纵标法 简称WC法。它(主要针对平板几何问题)是取μ的一组固定值，μ0，μ1，…，μN，对φ(r，μi，t)(i=1，2，…，N)写出方程组。右端积分用数值积分逼近，例如取μi为勒让德多项式零点的高斯求积公式，然后用差分法求解。对于各向同性散射的平板问题，WC法和球谐函数法是等价的。

1953年B.G.卡尔森提出了解中子输运方程(2)的SN方法，该法取－1=μ0<μ1<…<μN=1（其中），把[-1，1]分成N个区间，在每个区间[μj-1，μj]上假定φ是μ的线性函数，同样取R，假定在每个区间 [ri-1，ri]上 φ 也是 r 的线性函数。将(2)在区域{ri-1≤r≤ri，μj-1≤μ≤μj}上对r和μ积分，然后对时间作隐式向后差分得到差分格式，并适当选取插值公式，使差分方程的解满足粒子数守恒的性质。

卡尔森等人在50年代末进一步提出离散SN法，又称 离散纵标法(简记DSN法)。这种方法可以比较容易地推广到多维情况。它是从守恒方程

出发的，离散分点取为 ，-1<μ1<μ2<…<μN<1，其中μ1，μ2，…，μN取为勒让德多项式零点，取N为偶数，右端积分用高斯积分公式近似。在点上建立差分，为此在高斯积分系数ωj对应的子区间上对μ 近似积分，在(ri-1，ri)上对r作体积分，对t用中心差分，则得

式中是以 ri-1和ri为内外半径的球壳的体积，Ai是半径为ri的球面面积。

，

按递推公式

求出。此外，还要补充关系

和边界(μ=-1)方程

定解条件离散化为

。

若取φn为迭代初值，把S中的φ用前次迭代值代入，则利用边界条件，(4)、(5)可显式递推求解，计算步骤按μ从小到大的顺序进行。当μ<0时，利用外边界条件对r从大到小进行计算，当μ>0时，则利用中心对称条件，对r从小到大进行计算。

SN方法和 DSN方法是求解玻耳兹曼方程的有效的数值方法，其主要缺点是计算中可能出现负通量，为了避免出现负通量有各种修正格式。

对于定常的玻耳兹曼方程，70年代出现了多种有限元算法。有通过引进角通量偶次分量，把方程化为自伴形式，再构造泛函求极小的有限元算法；也有直接用加廖金法（包括连续的和不连续的方法）和配置法等的有限元算法。

此外，还有许多其他的数值方法，例如特征线法、分裂法和几种方法相结合的混合解法，以及求解积分型输运方程的各种数值方法。而基本概率理论的蒙特卡罗法在输运计算中也占有重要的地位。

参考书目

1. R.D.Richtmyer and K.W.Morton，Difference Method for Initialvalue Problems， 2nd ed.，Interscience， New York，1967.