关于相关分析介绍

[拼音]：xiangguan fenxi

[外文]：correlation analysis

研究随机变量之间的“相关关系”的一种统计方法。相关关系是一种非确定性的关系，例如，以x和Y分别记一个人的身高和体重，或分别记每亩施肥量与每亩小麦产量，则x与Y显然有关系，而又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这就是相关关系。当两变量x和Y有相关关系时，虽然知道了x之值x不足以决定Y之值，但可以决定Y的条件分布(见条件期望)Y│x=x。反之，也可由Y之值y决定x的条件分布x│Y=y。这种依赖关系正是相关关系的实质所在。

相关分析与回归分析在实际应用中有密切关系。然而在回归分析中，所关心的是一个随机变量Y 对另一个（或一组）随机变量x 的依赖关系的函数形式。用预测的语言说，x是预测因子，Y是预测对象，故x、Y的地位不是平等的。而在相关分析中，所讨论的变量的地位一样，分析侧重于随机变量之间的种种相关特征。例如，以x、Y分别记小学生的数学与语文成绩，感兴趣的是二者的关系如何，而不在于由x去预测Y。

完整描述相关关系的是条件分布Y│x=x和x│Y=y，但在使用上不方便。实用中常用相关系数(见概率分布)ρXY来描述x、Y之间的相关关系，其定义是ρXY=cov(x，Y)/(varx·varY)1/2。当ρXY>0(<0)时，称x、Y有正（负）相关。ρXY有以下性质。

（1）｜ρXY｜≤1。

（2）当x、Y有严格线性关系αx+bY=с时，ρXY=1或－1，视αb<0或αb>0而定。

（3）若x、Y相互独立，则ρXY=0；但当ρXY=0时，x与Y不一定相互独立。只有当(x，Y)服从二维正态分布时，才可由ρXY=0推出x、Y独立。当ρXY=0时，称x、Y不相关。相关系数只是x、Y之间线性关系密切程度的指标，因此常称ρXY为线性相关系数，而称基于它所作的相关分析为线性相关分析。

相关分析的主要任务是由 x、Y的一组观测值 (xi，Yi)，i=1，2，…，n，估计ρXY及检验有关ρXY的假设（见假设检验），特别是H0:ρXY=0。在统计上，称

为样本相关系数，并用以估计ρXY。R.A.费希尔于1915年，在(x，Y)的总体分布为二维正态分布的情况下，求得了r的抽样分布，由此可以对ρXY=0的假设进行检验。费希尔的这项工作是相关分析的一项重大发展，可以说它标志了相关分析这一统计方法的建立。

上述相关系数只涉及两个变量x、Y。若有多个变量x1，x2，…，xk，则可考虑其中之一(如x1)与其余变量(x2，x3，…，xk)的相关，基本指标是x1对(x2，x3，…，xk)的复相关系数R。任取常数α2，α3，…，αk，计算x1与的相关系数，变动α2，α3，…，αk的数值使相关系数达到极大，这个极大值就是R。计算方法如下:记Λ为以为元素的矩阵的行列式，Λij为rij的余子式，则。

这也是相关分析中的一个重要概念。设x、Y和Z分别记同一个人每月的基本开支、文娱开支及其工资收入。经过分析，会发现x、Y之间有高度的正相关，究其原因，是由于x、Y同时受Z的影响；若把Z对二者的影响清除，则剩余部分的相关程度会有不同，甚至会变成负相关。后者就是x、Y相对于 Z的偏相关。它可用偏相关系数来度量，一般，设有变量x1，x2，…，xk，则在前述符号下，x1与x2相对于(x3，x4，…，xk)的偏相关系数是

有时，需要考虑一组变量与另一组变量的关系，为此引进了典型相关系数，相应的方法称为典型相关分析，这种相关性的研究属于多元统计分析的范围。

参考书目

1. C.R.Rao，Linear Statistical Inference and Its Application， 2nd ed.， John Wiley & Sons，New York，1973.

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