关于李群介绍

[拼音]：Liqun

[外文]：Lie group

由挪威数学家M.S.李创立的一类群。李群理论在最初的相当长一个时期内仅与一些微分方程或偏微分方程的积分问题有联系，而与数学的其他分支关系不大，但是，自1920年以来有了迅速的发展，成为数学的一个重要分支。

所谓抽象群G是一个李群，其意是指：

（1）G是一个实（复）解析流形；

（2）对于G的元素x、y，(x，y)xy-1所定义的G×G到G的映射是一个解析映射。例如，①Gl(n，R)（或Gl(n，C)）全线性群，n维实（复）向量空间的所有自同构组成的群，是一个李群。在向量空间V内取一基底(e1， e2， …， en)，任一x∈GL(n，R)可以表为。矩阵(xij(x))是非奇异的，x(xij(x))(i，j=1，2，…，n)，便使Gl(n，R)成为一个解析流形。

（2）Sl(n，R)(Sl(n，C))称为幺模线性群。它是Gl(n，R)(Gl(n，C))的矩阵行列式为1的集合构成的群。

（3）令(ξ，η)是向量空间上的一个非奇异双线性型，于是，在Gl(n，R)(Gl(n，C))中使(xξ，xη)=(ξ，η)的所有x的集合构成群，当(ξ，η)是正定对称时，就称为正交群O(n，R)(O(n，C))；当(ξ，η)是反对称时，就称为辛群SP(n，R)(SP(n，C))。它们均为李群，称为典型群。

长期以来，人们想了解上述定义中的解析流形能否代之以拓扑流形，而将解析映射代之以连续映射，这就是希尔伯特的猜想，即所谓希尔伯特第5问题。这个猜想的正确性，其后为A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平所证实。

李的重要贡献，在于引进李代数的概念。令G是一个李群，考虑流形G上的左(右)平移：设g∈G，则G上的一个变换xg·x，x∈G，称为由g所定的左平移τg。所谓流形上的向量场，是指流形上的微分算子X，τg定义G的向量场间的“平移”，考虑左(右)平移下不变的向量场，这样的向量场X在g点的向量Xg，可以唯一的从单位元素e处的向量Xe用平移τg得到：Xg=τgXe。因此，左不变向量场的集合g可以看作G 的单位元e处的切向量空间，它是有限维的。在g内引进运算[X，Y]=XY-YX，X、Y∈g，这就赋予了g一个代数的结构，称为对应于G的李代数。李代数的运算显然有[X，Y]=-[Y，X]以及微分算子应适合的雅可比恒等式[X，[Y，Z]]+[Y，[Z，X]]+[Z，[X，Y]]=0。任何适合于以上两式的代数，即称为李代数。

两个单连通李群同构的充分必要条件是它们有同构的李代数；任一抽象的李代数必为一单连通李群的李代数。这就是李的基本定理。由此可以看出，李代数的讨论是李群论的重要组成部分。李群论最基本的内容就是从李群的某些概念和性质，找出对应李代数的性质。例如李群间的同态对应于李代数间的同态；子群（正规子群）对应于子代数（理想）等等。

它们的分类是极为重要的工作。为了便于叙述，首先考虑李群的流形是紧的情形，这样的李群称为紧李群，它所对应的李代数称为紧李代数。例如酉群即由酉矩阵构成的线性群，就是一个紧李群，记为U(n)，而它所对应的李代数即是所有反埃尔米特矩阵构成的李代数，记为u(n)。u(n)的复化u(n)c=gl(n，C)，所有复矩阵构成的李代数，就是Gl(n，C)对应的李代数。

W.K.J.基灵、É.(-J.)嘉当得出紧单李代数分类：幺模酉群对应的李代数su(n);幺模正交群SO(n)所对应的李代数sO(n);紧辛群SP(n)=U(n)∩SP(n，C)所对应的李代数u(n)∩sp(n，C);以及维数为14，52，78，248的五类特殊单李群所对应的单李代数，分别记为G2，F4，E6，E7，E8。

实数域非紧单李代数的分类，是根据嘉当分解定理：g是一个实半单李代数，则存在分解g=R+B，其中R是g的最大紧李代数，这时gu=R+iB是一个紧李代数。

应该指出，在g的复化gc内，对应σ：X+Y→X-Y，X∈R，Y∈B分别在g及gu上诱导一个对合自同构。由于gu的结构已经确定，所以g的结构就是由gu和它的一个对合自同构 σ所确定。利用这个定理可得出非紧单李代数的分类。

半单李代数是单李代数（非交换）的直和。

与分类理论相关的是表示论。李群G 到GL(n，с)的一个同态连续对应，称为G的一个表示。为简单起见，这里将表示理论限制在复向量空间上。所谓表示是完全可约的，意即表示向量空间X可以分解为一些子空间Xj的直和，而每一个Xj都是G的不变子空间，且是不可约的（即不存在真的不变子空间）。

É嘉当作出所有紧半单李群表示的分类。（C.H.）H.外尔得出一个重要定理：连通半单李群的表示是完全可约的。他还得出不可约表示的特征标公式。

令是紧李代数g的最大可换子代数。一线性表示ρ在上的诱导表示的特征根λ的集合，称为ρ的权系。g的伴随表示（对g中任一A，定义g上线性变换adA，对g中所有x，使adX=[A，X]）的权系，称为g的根系。紧李代数的表示属于su(n)，所以权是 的对偶空间*上的纯虚向量，即i*上的实向量。对于半单李代数i*还是一个欧氏空间（例如 g的基灵型在i*诱导所定的度量），所以权可看作是欧氏空间的向量。

所谓g的根系中的子系是素根系(或单根系)，即指任意根可以表作它们的线性组合，而且系数全为正整数或全为负整数。E.B.邓肯指出，素根系的合同是对应半单紧李代数同构的充分必要条件。利用嘉当分解定理，严志达得到非紧半单李代数g的最大紧代数R的素根系和表示adβR的最低权是g同构的充分必要条件。因此他们分别给出了紧单李代数和非紧单李代数分类的简单方法。关于后者，村上信吾、V.卡茨等人也进行过类似的讨论。

关于半单紧李群表示分类有定理：半单紧李群线性表示等价的充分必要条件是，它们有相同的首权。

从微分几何学角度，一种特殊的黎曼流形为对称黎曼空间或对称黎曼流形，是用如下方式来定义的:以流形上任一点x为中心，把过x的测地线两边到x距离相等的点互相对应得到的所谓以x为中心的“对称”是流形的等距对应。对称黎曼流形的分类如下：

（1）欧氏空间；

（2）非紧型不可约对称空间，即实单李群G和它的最大紧子群K所定义的商空间G/K；

（3）紧型不可约对称空间，即②中G的复化Gc中满足Gu∩G=K的紧致群Gu所定义的紧空间Gu/K，以及上述三类空间的直和。

所述对称黎曼空间包括了所有古典几何学研究的对象，以常曲率的黎曼流形为其特例。半单紧群也是对称黎曼流形。因此，（C.）F.克莱因关于“几何学”是研究容许可递变换群空间的思想，在这里得到极大的丰富和发展。

古典分析学以空间Rn或Cn作为它的基础，而黎曼空间理论使得分析学向更复杂的流形扩展，特别是容许复结构对称黎曼流形上函数的研究，成为多元复变函数论中重要的内容。

分类中①的情况是明显的，略而不论。不难看出，②和③是与半单李代数的嘉当分解相联系的，实际上从G 和K 对应的李代数g和R 就可得到g的嘉当分解，，而对合的同构σ就是“对称”在切空间的反映。就整体范围而言，对非紧对称黎曼流形，所有对应于同一单李代数g的流形都是等距同构的，而且同胚于Rn。但是，对于③型的紧对称流形则不然，它们只是局部等距的，即只能在对应的邻域间建立等距关系。对同一李代数gu所决定不同的紧黎曼流形，根据拓扑学覆盖空间理论，即是要计算它们的基本群，它们通常是对应gu的单连通紧李群Gu的中心的某些子群，已为嘉当所详细讨论。

关于对称的准黎曼流形的分类，局部问题由M.伯热和严志达解决。整体问题在非紧群流形情况下同由後藤以纪、小林昭七和A.I.西罗塔、A.S.索罗多夫尼科夫等人解决。

对于一般李群有下述两个重要结果。

一个连通且单连通李群G 含有一个最大正规连通可解闭子群称为根基，记为R，商群G/R是半单的。列维分解定理表明G是R和G/R同构的半单子群的半直积。

在表示论方面有阿多定理 连通且单连通李群G 恒有一个真实的线性表示。

从外尔和嘉当奠基以来，对李群和它的齐性空间的拓扑结构的研究，十分活跃。紧半单李群及其齐性空间的一些拓扑不变量，决定于对应的李代数及与之有关的组合结构（如权、根、外尔房等）。为了具体解决李群拓扑问题，产生了各种不同的方法和理论，如同调代数（特别是J.勒雷的谱序列），微分几何（韦伊代数）以及莫尔斯理论等。关于同调论的结果十分完备，而同伦论的结果则较少。

嘉当和外尔关于紧李群表示论的工作指出，古典傅里叶分析和球调和函数应该与李群论的概念相联系。这个思想从1950年以来有很大发展，形成了所谓非交换调和分析理论，这方面的工作主要有И.М.盖尔范德、哈里什-钱德拉等人。

代数群和谢瓦莱群理论也是从半单李群理论得到启发而发展起来的新分支，虽然它们与流形、解析性等概念完全无关。

C.谢瓦莱从单李代数的结构出发，建立任意域上的谢瓦莱群。有限域上的谢瓦莱群都是有限单群。这对有限单群的研究起了重要的作用。A.博雷尔则用代数几何学的工具将紧半单李群的许多性质推广到更一般的情形即线性代数群上。

外尔在他的名著《群论和量子力学》一书中第一次将李群表示论应用于量子力学，主要是利用SO(3)的线性表示。近年来，物理学家已将其他紧群的线性表示用于基本粒子的研究，特别是SU(n)，n≤12。

参考书目

1. C. Chevalley，Theory of Lie Groups，Princeton Univ. Press， Princeton， 1946.
2. L.S.Pontrijagin，Topological Groups，2nd ed.， Gordon and Breach， London， 1966.
3. S.Helgason，Differential Geometry， Lie Groups and Symmetric Spaces，Academic Press， New York， 1978.
4. H.Weyl，The Structure and Representation of Continuous Groups， Lecture Notes，Institute for Advanced Study，Princeton， 1935.
5. E.Cartan，Oeuvres Compètes，Partie I，Vol.7，Vol.3， Gauthier-Villars， Paris， 1952.
6. J.Dieudonné，BII.Groupes de Lie， panoraMa des MathéMatiques Pures，Gauthier-Villers，Paris，1977.