什么是d性力学?

什么是d性力学?,第1张

什么是d性力学?

[拼音]:tanxing lixue

[外文]:elasticity

也称d性理论,主要研究d性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移,从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上,d性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构,即所谓杆件系统;而d性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的d性体。

发展简史

d性力学的发展大体分为四个时期。

(1)发展初期的工作是通过实践,探索d性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的d性体的变形与外力成正比的定律,后来被称为胡克定律。

(2)第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是,从1822~1828年间,在A.-L.柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念,建立了d性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程,各向同性和各向异性材料的广义胡克定律,从而为d性力学奠定了理论基础。

(3)第三个时期是线性各向同性d性力学大发展时期。这个时期的主要特点是d性力学被广泛应用于工程问题,同时在理论方面建立了许多重要的定理和原理,并提出了许多有效的计算方法。这个时期从A.J.C.B.de圣维南于1855~1856年间发表关于柱体的扭转和弯曲的论文后开始,开辟了一条用半物理半数学的方法解d性力学基本方程的途径。接着G.B.艾里解决了平面应力问题,H.R.赫兹解决了接触问题,G.基尔施解决了孔边应力集中问题,等等。这些成就的取得,使d性力学得到工程界的重视。在这个时期中,d性力学的一般理论也有了很大的发展。在d性力学基本方程建立后不久,建立了d性力学的虚功原理和最小势能原理。1872年E.贝蒂建立了互换定理。1879年A.卡斯蒂利亚诺建立了余能原理。由于这些能量原理的建立,使基于这些原理的近似计算(如瑞利-里兹法和伽辽金法)也得到了发展。

(4)从20世纪20年代起,d性力学进入第四个时期,各向异性和非均匀体的d性力学、非线性d性力学、热d性力学等都有了重大发展。另外,还出现了许多边缘分支,如研究固体与气体(或液体)共同作用的气动d性力学以及粘d性力学等。这些领域的发展,促进了有关工程技术的发展。

基本方程

在各向同性线性d性力学中,为了求得应力、应变和位移,先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设,即:连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全d性假设和小变形假设,然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发,导得d性力学的基本方程和边界条件的表达式。

直角坐标系下的d性力学的基本方程为平衡微分方程:




(1)

几何方程:




(2)

物理方程:




(3)

(1)式中的σx、σy、σzτyz=τzyτxz=τzxτxy=τyx为应力分量,XYZ为单位体积的体力在三个坐标方向的分量;(2)式中的uvw为位移矢量的三个分量(简称位移分量),εx、εy、εzγyzγxzγxy为应变分量;(3)式中的Ev分别表示杨氏d性模量和泊松比。

在物体的表面,如已知面力,则边界条件表示为




(4)

这里的 塣、墏、墫表示作用在物体表面的单位面积上的面力矢量的三个分量,l、m、n表示物体表面外法线的三个方向余弦。

如物体表面位移ū、堸、塐已知,则边界条件表示为

u=ū,v=堸,w=塐 (5)

这样就将d性力学问题归结为在给定的边界条件下求解一组偏侮分方程的问题。

主要解法

式(1)、(2)、(3)中有15个变量,15个方程,在给定了边界条件后,从理论上讲应能求解。但由(2)、(3)式可见,应变分量、应力分量和位移分量之间不是彼此独立的,因此求解d性力学问题通常有两条途径。其一是以位移作为基本变量,归结为在给定的边界条件下求解以位移表示的平衡微分方程,这个方程可以从(1)、(2)、(3)式中消去应变分量和应力分量而得到。其二是以应力作为基本变量,应力分量除了要满足平衡微分方程和静力边界条件外,为保证物体变形的连续性,对应的应变分量还须满足相容方程:




(6)

这组方程由几何方程消去位移分量而得到。对于不少具体问题,上述方程还可以简化。

在d性力学中,为克服求解偏微分方程(或方程组)的困难,通常采用试凑法,即根据物体形状的几何特性和受载情况,去试凑位移分量或应力分量;由d性力学解的唯一性定理,只要所试凑的量满足全部方程和全部边界条件,即为问题的精确解。

从数学观点来看,d性力学方程的定解问题可变为求泛函的极值问题。例如,对于用位移作为基本变量求解的问题,又可以归结为求解变分方程:

δП1=0 (7)П1是物体的总势能,它是一切满足位移边界条件的位移的泛函。对于稳定平衡状态,精确的位移将使总势能П1取最小值的称为最小势能原理。又如对于用应力作为基本变量求解的问题,可归结为求解变分方程:

δП2=0 (8)П2为物体的总余能,它是一切满足平衡微分方程和静力边界条件的应力分量的泛函。精确的应力分量将使总余能 П2取最小值的称为最小余能原理。(7)式等价于用位移表示的平衡微分方程和静力边界条件,而(8)式则等价于用应力表示的相容方程。在求问题的近似解时,上述泛函的极值问题又进而变为函数的极值问题,最后归结为求解线性非齐次代数方程组。

还有各种所谓的广义变分原理,其中最一般的是广义势能原理和广义余能原理,它们等价于d性力学的全部基本方程和边界条件。但和总势能П1和总余能П2不同,广义势能和广义余能作为应力分量、应变分量和位移分量的泛函,对于精确解,也只取非极值的驻值。

由于d性力学的基本方程是在d性力学的五条基本假设下通过严密的数学推导得出的,因此d性力学又称为数学d性力学。而板壳力学则属于应用d性力学。因为,它除了引用这五条基本假设外,还对变形和应力的分布作了一些附加假设。从这个意义上讲,材料力学也可纳入应用d性力学。可见,虽然d性力学和材料力学都研究杆状构件,但前者所获得的结果是比较精确的。

参考书目
    钱伟长、叶开沅著:《d性力学》,科学出版社,北京,1956。徐芝纶编:《d性力学》,人民教育出版社,北京,1979。胡海昌著:《d性力学的变分原理及其应用》,科学出版社,北京,1982。

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